Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

Teorema isbotlandi. 

118 

 

2. Yarim to’g’ri chiziqda qo’ydagi birinchi chegaraviy masala. 

       Yarim to’g’ri chiziqda qo’ydagi birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz: 

                                

 

























.

0

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

)

,

0

(

;

0

,

0

,

5

.

2

2

x

x

x

u

t

t

u

t

x

u

a

u

xx

tt



 

bu yerda 

0

)

(



x



. 

Butun  Haqiqiy  o’qda  boshlang’ich  shartni  beruvchi 

)

(x



 funksiyani  toq  qilib  davom  ettirib 

yechimni topamiz: 

                         



















.

0

,

)

(

;

0

,

)

(

)

(

x

x

x

x

x





 

Mos ravishda qo’ydagi Koshi masalasini ko’rib chiqamiz: 

                      

 











































.

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

)

,

0

(

;

0

,

,

6

.

2

2

x

x

x

U

t

t

U

t

x

U

a

U

xx

tt

 

Uning yechimi bizga malum: 

                        

















.

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

)

,

(

2

2

2

ds

s

t

a

s

x

t

a

t

x

U



 

Aytaylik    

)

(

)

,

(









R

R

t

x

 da 

)

,

(

)

,

(

t

x

U

t

x

u



 .   Bu funksiya [2.5] ning yechimi ekanligini 

ko’rsatamiz . Koshi masalasining qo’yilishiga ko’ra , 

                       

















.

0

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

,

2

x

x

x

u

t

x

u

a

u

xx

t



 

ekanligi malum. Chegaraviy shartni bajarilishini tekshiramiz: 

                         

















.

)

(

}

4

exp{

4

1

)

,

0

(

)

,

0

(

2

2

2

ds

s

t

a

s

t

a

t

U

t

u



 

Integiral ostida juft va toq funksiyalarning ko’paytmasi turibdi , shuning uchun u nolga teng . 

Chegaravi shart bajarilayapdi. endi yechim uchun to’liq formulani olamiz: 

                 



















ds

s

t

a

s

x

t

a

t

x

u

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

)

,

(

2

2

2



 

          





























0

2

2

2

0

2

2

2

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

))

(

}(

4

)

(

exp{

4

1

ds

s

t

a

s

x

t

a

ds

s

t

a

s

x

t

a









 

           

























0

2

2

2

0

2

2

2

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

ds

s

t

a

s

x

t

a

ds

s

t

a

s

x

t

a









 

          

.

)

(

}

4

)

(

exp{

}

4

)

(

exp{

4

1

0

2

2

2

2

2





























ds

s

t

a

s

x

t

a

s

x

t

a





 

Demak, 

                      

.

)

(

}

4

)

(

exp{

}

4

)

(

exp{

4

1

)

,

(

0

2

2

2

2

2





























ds

s

t

a

s

x

t

a

s

x

t

a

t

x

u





 (2.11) 

bu yarim to’g’ri chiziqda birinchi chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi. 

             3. Yarim to’g’ri chiziqda ikkinchi chegaraviy masala   

               Yarim to’gri chiziqda ikkinchi chegaraviy masala qo’ydagi ko’rinishga ega: 

119 

 





























.

0

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

)

,

0

(

;

0

,

0

,

7

.

2

2

x

x

x

u

t

t

u

t

x

u

a

u

x

xx

tt



 

Yana  yechimni  topish  uchun  boshlang’ich  shartni  beruvchi  funksiyani  endi  juft  qilib  davom 

ettiramiz: 

















.

0

,

)

(

;

0

,

)

(

)

(

x

x

x

x

x





 

Boshlang’ich shartni o’zgartirib , quyidagi koshi masalasini olamiz: 

 





 











































.

,

0

,

;

0

,

0

,

0

;

0

,

,

2

x

x

x

U

t

t

U

t

x

U

a

U

xx

t

 

Xuddi shunday uning yechimi  

                       

 





















ds

s

t

a

s

x

t

a

t

x

U

)

(

}

4

exp{

4

1

,

2

2

2



     funksiya bo’ladi.  

Aytaylik 

 













R

R

t

x,

 da  

 

 

t

x

U

t

x

u

,

,



 bo’lsin. 

Yana    

                     

















.

0

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

,

2

x

x

x

u

t

x

u

a

u

xx

t



 

ekanligi aniq. 

Chegaraviy masalaning bajarilishini tekshiramiz: 

 

 













































ds

s

t

a

s

x

t

a

s

x

t

a

t

x

U

t

x

u

x

x

)

(

}

4

exp{

2

4

1

,

,

2

2

2

2



 

 

 

































.

0

)

(

}

4

exp{

2

4

1

,

0

,

0

2

2

2

2

t

ds

s

t

a

s

t

a

s

t

a

t

U

t

u

x

x



 

       Hosil  bo’lgan  integral  ostida  2  ta  juft    va  bitta  toq  funksiyaning  ko’paytmas  turibdi, 

demak u nolga aylanadi. Chegaraviy shart bajarilmoqda. [2.7] ning yechimi uchun qo’ydagi 

formilani xosil qilamiz: 



























0

2

2

2

0

2

2

2

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

)

(

}

4

)

(

exp{

4

1

)

,

(

ds

s

t

a

s

x

t

a

ds

s

t

a

s

x

t

a

t

x

u









 

.

)

(

}

4

)

(

exp{

}

4

)

(

exp{

4

1

0

2

2

2

2

2





























ds

s

t

a

s

x

t

a

s

x

t

a





 

Bu yarim to’g’ri chiziqda 2-chegaraviy masalaning yechimidir. 

 

          4.      Birinchi chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi. 









































.

0

,

)

(

)

0

,

(

;

0

,

0

)

,

(

;

0

,

0

)

,

0

(

;

0

,

0

,

2

l

x

x

x

u

T

t

t

l

u

T

t

t

u

t

l

x

u

a

u

xx

t



 

Malumki, uning yechimi qo’ydagi ko’rinishga ega: 

}.

)

(

exp{

)

sin(

)

sin(

)

(

2

)

,

(

2

2

1

0

t

l

n

a

x

l

n

ds

s

l

n

s

l

l

x

u

n

l





































 

120 

 

 Uni  Koshi  masalasini  yechishda  qo’llaganimizday  boshqacha  ko’rinishda  ifodalashimiz 

mumkin: 

                              





l

ds

s

t

s

x

G

t

x

u

0

,

)

(

)

,

,

(

)

,

(



        

}.

)

(

exp{

)

sin(

)

sin(

2

)

,

,

(

2

2

1

t

l

n

a

x

l

n

s

l

n

l

t

s

x

G

n

















(2.12) 

-bu birinchi chegaraviy masala uchin Grin funksiyasidir . 

                   5. Grin funksiyasining xossalari 

          1-xossa.

   

).

,

,

(

)

,

,

(

t

x

s

G

t

s

x

G



 

Bu xossa Grin funksiyasining tarifidan kelib chiqadi. 

 2-xossa.   

).

(

)

,

,

(











R

R

R

C

t

s

x

G

 

Isboti:       

)

,

,

(

t

s

x

  nuqtada  uzluksizligini  isbotlaymiz.  Buning  uchun  , 

0

t

t 

  da  Veyershtrass 

alomatiga  ko’ra  tekis  yaqinlashuvchi  ekanligini  aytib  o’tish  yetarli,  chunki  uni 

eksponentalardan iborat yaqinlashivchi qator bilan chegaralash mumkin: 

                     























1

0

2

2

}.

exp{

2

)

,

,

(

n

t

l

n

a

l

t

s

x

G



 

Differensiallanuvchiligini  isbotlash  uchun,  Hosilalardan  iborat  qator  tekis  yaqinlashishini 

takidlash  yetarli,  chunki  differinsiallash  natijasida  yani  ko’paytuvchilar  sifatida  faqatgina 

palinomlar  Hosil  bo’ladi  .  Ular  Halaqit  bermaydi,  ekisponenta  baribir  yaqinlashuvchilikni 

taminlaydi.                                  

  3-xossa.      















;

;

2

2

ss

t

xx

t

G

a

G

G

a

G

 

Birinchi  tenglamani  (2.12)  formulani  differensiallash  orqali,  ikkinchi  tenglamani  esa    1-

xossadagi tenglamani  differensiallash orqali tekshirish mumkin. 

          4-xossa.     

.

0

],

;

0

[

,

,

0

)

,

,

(







t

l

s

x

t

s

x

G

 

Isboti:  Ixtiyoriy 

)

,

,

(

0

t

s

x

 nuqta uchun isbotlaymiz. 

)

(x

h



funksiya 

)

;

(

0

0

h

s

h

s





 intervalda 

qandaydir 

)

(

~

x



    musbat funksiyaga, intervaldan tashqarisida esa 0 ga teng bo’lsin: 

                          























).

,

(

\

]

,

0

[

,

0

);

;

(

,

0

)

(

~

)

(

0

0

0

0

h

s

h

s

l

x

h

s

h

s

x

x

x

h





 

Bundan tashqari , quydagi shartlarni qanoatlantirsin : 

                          

















l

h

h

dx

x

l

C

x

0

.

1

)

(

];

;

0

[

)

(





 

va  [2.2]  turdagi  qandaydir  chegaraviy  masala  uchun  boshlang’ich  shartni  bersin.  U  Holda 

bu  chegaraviy  masalaning  yechimi  bo’lgan 

)

,

( t

x

u

h

  funksiya  quyidagi  formila  bilan 

anioqlanadi: 

                       















l

h

s

h

s

h

h

h

ds

s

t

s

x

G

ds

x

t

s

x

G

t

x

u

0

0

0

)

(

)

,

,

(

)

(

)

,

,

(

)

,

(





 

0

0

0

0

( , , )

( )

( , , ),

(

;

).

s

h

h

s

h

G x

t

s ds

G x

t

s

h s

h



























 

121 

 











)

,

(

lim

)

,

,

(

lim

0

0

t

x

u

t

x

G

h

h

h



 

).

,

(

lim

)

,

,

(

0

0

t

x

u

t

s

x

G

h

h



    (2.12) 

:

)

,

(

0

)

,

0

(

t

l

u

t

u

h

h





 bo’lgan xolda maksimal qiymat prinsipini  qo’llaymiz: 

                   

.

0

)}

(

min

,

0

,

0

min{

)

,

(

min

]

;

0

[

]

,

0

[

]

;

0

[











x

t

x

u

l

x

h

T

t

l

x



 

(2.13) ga ko’ra ,

).

,

,

(

0

t

s

x

G

 manfiy emasligini aniqlaymiz. 

4-xossa   isbotlandi.