Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

Misollar 

     1. 

.

0

cos

cos

sin

2

2

2

2

2

2

2



























y

u

x

y

u

x

y

x

u

x

x

u

 tenglamani qaraymiz.  Bu 

tenglamani gepirbolik tipli, Yani

.

1

cos

sin

2

2

2









x

x

ac

b

Xarakteristik 

291 

 

tenglamani tuzamiz 

0

cos

sin

2

2

2

2







xdx

xdxdy

dy

yoki tenglamaning chap 

qismida

2

2

sin

sin

xdx

xdx

dxdy

dxdy







yozib va uni guruxlasak, u holda  





.

0

)

)

sin

1

(

(

)

sin

1

(











dx

x

dy

dx

x

dy

Tenglamani integrallasak 

0

)

sin

1

(







dx

x

dy

va 

0

)

sin

1

(







dx

x

dy

u holda 

.

cos

,

cos

2

1

C

x

y

x

C

x

y

x













Yangi o’zgaruvchilarni 

.

cos

,

cos

x

y

x

x

y

x

















formulalar  buyicha kiritamiz.Uholda yangi 

o’zgaruvchili tenglama 

.

0

2













u

ko’rinishda bo’ladi . 

,

,





















deb,kanonik ko’rinishdagi tenglamaga kelamiz 

.

0

2

2

2

2

















u

u

 

 

Javob:Berilgan gepirbolik tipli tenglamaning kanonik ko’rinishi: 

.

0

2

2

2

2

















u

u

 

 2.Tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring  

 

.

0

2

3







yy

xy

xx

u

u

u

 

2)Xarakteristik tenglamani yozamiz   

.

0

2

3

2











 

Bu yerda 

2

,

1

2

1









Tenglama gepirbolik tipli, shuning uchun 

x

y

x

y

2

,













yoki  

.

,

2

3

x

x

y











almashtrish olamiz. O’zgaruvchilarni almashtrishdan kiyin 

tenglama

0





u

yoki 

.

0









u

u

ko’rinishni oladi.Shuni ta’kidlaymizki 

0





u

tenglamani yechimi 1.3 misolda qaralgan edi.Xuddi shunday,biz (r) tenglamaning umumiy 

yechimini quyidagicha yozamiz . 

).

2

(

)

(

)

(

)

(

x

y

x

y

u

























 

 

 

292 

 

2-chi tartibli xususiy hosilali d.t. klassifikasiya (parabolic tip) 

2-chi tartibli hosilali defferensial tenglamalar klassfikasiasi (parabolic tip)  

Faraz qilaylik U=U(x,y)-ikkita x va y o’zgaruvchili noma’lum funksia bo’lsin. 

Uholda 2-chi tartibli tenglama deb quyidagicha aytamiz. 

0

)

,

,

,

,

(

)

,

(

)

,

(

2

)

,

(

2

2

2

2

2































y

u

x

u

u

y

x

f

y

u

y

x

c

x

y

u

y

x

b

x

u

y

x

a

 

 

Tenglamani tepi 

∆=

−

     ga qarab aniqlanadi. 

Agar 

∆> 0 

 bo’lsa, tenglama giperbolik tipli  

Agar 

∆= 0 

 bo’lsa, tenglama parabolic tipli  

Agar 

∆< 0 

 bo’lsa, elliptik tipli 

(4)ni kanonik ko’rinishga keltirish uchun uning xarakteritek tenglamasini yozish kerak. 



























.

0

)

(

,

0

)

(

2

2

dx

ac

b

b

ady

dx

ac

b

b

ady

                                            

 (5) 

So’ngra uning umumiy yechimini toppish kerak 

             

0

2



 ac

b

            Bo’lganda,tenglama  giperbolik  tipli  (5)-tenglama  sestimasining 

umumiy integrallarini               

,

)

,

(

;

)

,

(

2

1

c

y

x

c

y

x









                  

                  Bilan ifodalab,yangi   





,    -o’zgaruvchilarni       

).

,

(

);

,

(

y

x

y

x













              

formula bilan kiritamiz. U holda (4) tenglama    

)

,

,

,

,

(

2





























u

u

u

F

u

     kurinishini 

oladi .Bu gepirbolik tipdagi tenglamaning kanonik ko’rinishidir. 

   

0

2



 ac

b

 

Bo’lganda, tenglama parabolic tipli.(5) tenglamalar sestimasini umumiy 

integrallari   

c

y

x

~

)

,

(





    bilan ustma-ust tushadi .Yani   





,    -o’zgaruvchilarni      

),

,

(

);

,

(

y

x

y

x













       formula  bilan kiritamiz,bu yerda 

)

,

(

y

x



     -funksia quydagi 

shartni qanoatlantiradi    

,

0



















y

y

x

x









   masalan    

.

x





              

U holda (4)tenglama           

0

)

,

,

,

,

(

2

2

2

2



































u

u

u

F

u

u

            ko’rinishni oladi 

bu parabolic  tipdagi tenglamaning kanonik ko;rinishidir. 

293 

 

          

.

0

2



 ac

b

      Bo’lganda ,tenglama elliptic tipli (5)tenglamalar sestimasining umumiy 

integrallari quyidagicha       

c

y

x

i

y

x

~

)

,

(

)

,

(









        

Yangi 



va   

.



  -o’zgaruvchilarni   

).

,

(

);

,

(

y

x

y

x













  orqali kiritamiz.U holda (4) 

tenglama    

0

)

,

,

,

,

(

2

2

2

2



































u

u

u

F

u

u

    ko’rinishni oladiki,bu elliptic tipdagi 

tenglamalarni kanonik ko'rinishidir. 

1.Tenglamani kanonik ko’rinishiga keltiring     

.

0

2

2

2

2

2

2

2

2





















y

z

y

y

x

z

xy

x

z

x

 

Echish:Buyerda a= 

;

0

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2















y

x

y

x

ac

b

y

c

xy

b

x

a

ya’ni 

tenglama parabolic tipli.Xarakteristik tenglamani tuzamiz     

.

0

2

2

2

2

2







dx

y

xydxdy

dy

x

   Bu xolda ikkita xarakteristikalar oilasi ustma-ust 

tushadi  

.

ydx

xdy 

tenglamani qaraymiz.O’zgaruvchilarni ajratib uni integrallaymiz  

x

dx

y

dy



 yoki 

,

ln

ln

ln

C

x

y





 

.

C

x

y



.Yangi                       uzgaruvchilarni 

kiritamiz . 

.



 ni shunday tanlaymizki      

.

0

























x

y

y

x









     shart bajarilsin 

.Yani 



va  

.



   uzgaruvchi olib,u holda berilgan tenglamani kanonik ko’rinishi quyidagicha 

.

0

2

2









z

 

 

2.misol; 2. 

0

9

9

2











y

x

yy

xy

xx

u

u

u

u

u

 

 

Xarakteristik tenglamani tuzamiz: 

 

1

1

1

22

12

11









a

a

a

 

 

0

)

1

(

0

1

2

2

2

















 

 

Bu yerda 

1

2

,

1







 bulganligi uchun bu  parabolik tipdagi tenglama. U xolda kuyidagi 

almashtirish kiritamiz: 

 













x

x

y







   













x

x

y





 

294 

 

 



























u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

yy

xy

xx

y

x



























2

 

 

Tenglama urniga kuyamiz: 

 

























u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

9

18

9

9

9

2

2

2























 

 

Demak, parabolik tipdagi tenglamamiz kanonik shakli kuyidagicha: 

 

0

9

18













u

u

u

  

  

3.misol:Tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring   

.

0

2











y

x

yy

xy

xx

u

u

u

u

u

                        

(8,4) 

Xarakteristik tenglamani yechib        

,

0

1

2

2











               ,    

1

2

1









              ga ega 

bulamiz.Yani,(8,4)  tenglama parabolic tipli. 

          

x

x

y











,

   Almashtirish kiritamiz,uholda 

.

)

(

)

(

,

)

(

)

(

,

2

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,























































































u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

y

y

xy

y

y

yy

x

x

xx

y

y

y

x

x

x