Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

MUSTAQIL ISh 

 

 

 

 

Differensial tenglamalar kafedrasining  2010 

yil 29 avgustdagi bo’lib o’tgan yig’ilishi №1 

qarori bilan tasdiqlangan 

 

 

 

 

 

 

 

 

Samarqand-2010

 

286 

 

2-chi tartibli chiziqli tenglamalar.2-chi tartibli xususiy xosilali differensial 

tenglamalar.klassifikasiya(giperbolik tip) 

           1.Xususiy hosilali tenglamaning umumiy yechimi haqida tushincha. 

n-chi tartibli oddiy defferensial tenglamani qarab chiqamiz

.

0

)

,...,

'

'

,

'

,

,

(

)

(



n

y

y

y

y

x

f

Uning 

umumiy integrali n-ta ixtyiyoriy o’zgarmas funksialar oilasini tashkil etadi 

.

0

)

,...,

,

,

,

(

2

1



n

C

C

C

y

x

F

Ixtiyoriy xususiy yechimlarni -

n

C

C

C

,...,

,

2

1

parametrlarini aniq qiymati berilgan holda hosil qilish mumkin. 

           1.1Misol Faraz qilaylik 

0



x

u

tenglama berilgan bo’lsin .Bu tenglama shuni 

anglatadiki, 

)

,

(

y

x

u

-funksiya  x –dan bog’liq emas. Ya’ni echimlar 

y

e

y

x

u

y

y

y

x

u

y

sin

)

,

(

,

)

,

(









2

2

 funksialardan iborat .Umumiy yechim: 

)

(

)

,

(

y

C

y

x

u



,bo'lsa  bu yerda 

C

,y-o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan funksiya . 

            1.2Misol 

)

,

(

y

x

f

u

x



tenglamani qaraymiz .Bu tenglama yechimini topish uchun,uni 

x-bo’yicha integrallaymiz     

.









C

dx

y

x

f

dx

u

x

)

,

(

  (1.2)                                                                

x-bo’yicha integrallashda ,biz y-ni o’zgarmas deb olamiz va shuning uchun (1.2) dan C-

ixtiyoriy o’zgarmas y-dan bog’liq bo’lishi mumkin.Xuddi shunday umumiy yechim 

quyidagicha. 

                     

.







)

(

)

,

(

)

,

(

y

C

dx

y

x

f

y

x

u

                                                     

          1.3Misol faraz qilaylik 

0



xy

u

tenglama berilgan 1.1 Misoldan shu narsa kelib 

chiqadiki 

)

( y

C

u

y



.Bu tenglama (1.2) misol kabi quyidagiga ega bo’lamiz. 

                                         

.

1







)

(

)

(

)

,

(

x

C

dy

y

C

y

x

u

                                                                                

 





dy

y

C

y

C

)

(

)

(

2

     deb olamiz .U holda umumiy yechim quyidagicha    

                                   

.

2

1

)

(

)

(

)

,

(

y

C

x

C

y

x

u





 

Shuni takidlaymizki , ixtiyoriy o’zgarmasga  bog’liq bo’lgan  oddiy defferensial 

tenglamalarning umumiy yechimidan farqli xususiy hosilali tenglamalarning   umumiy 

yechimi  ixtiyoriy funksiyadan bog’liq bo’ladi  

               Xususiy hosilali   defferensial tenglamalarning umumiy yechimida  ixtiyoriy 

funksiya bor , ularning soni  tenglamaning tartibiga teng  

   Farazx qilaylik                    

.

0

2









y

x

u

                                  (1.1) 

  tenglama berilgan bo’lsin. 

287 

 

 Buning uchun tenglamani 

.

0























y

u

x

ko’rinishga yozamiz. X-bo’yicha hosila nolga 

tengligidan  uni  y-ixtiyoriy funksiyaga bog’liq diyish mumkin 

).

( y

f

y

u







Shuning uchun 





.

)

(

)

,

(

dy

y

f

y

x

u

Lekin ixtiyoriy

),

( y

f

funksiyani integrallab,ixtiyoriy yangi 

),

( y

F

funksiyani, 

plyus ixtiyoriy

),

( y

f

-ni hosil qilamiz.Xuddi shunday (1.1) tenglamaning umumiy integrali 

)

(

)

(

)

,

(

y

F

x

y

x

u







 

Ikkita ixtiyoriy funksiyaga ega. Endi 

)

;

(

y

x

u

 -ng umumiy yechimidan xususiy yechimini 

topish uchun 

)

(x



va

)

( y

F

konkret ko’rinishini  toppish kerak .Biroq shu yerda oddiy 

defferensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial  tenglamalarning umumiy yechimini 

topish farqi shundan iboratki xususiy hosilali defferensial tenglamalarning umumiy yechimini 

umumiyligi tufayli konkret yechimni topish qiyinlashadi. 

              1.Xususiy hosilali defferensialtenglamaning umumiy yechimini toping: 

0

)

;

(

2

2







x

y

x

u

bu yerda 

)

;

(

y

x

u

-ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya  

     Echish:Tenglamani 

.

0























x

u

x

ko’rinishga yozamiz .Bu yerda 

x

u





, 

x dan bog’liq emas ,ya’ni undan x bo’yicha xususiy hosila nolga teng  

Shuning uchun  , 

)

(

1

y

C

x

u







,bu yerda 

)

(

1

y

C

-y-ga bog’liq ixtiyoriy funksiya  

)

(

1

y

C

x

u







tenglamada 

x

u





-xususiy hosila x bo’yicha olinib ,y-o’zgarmas sanaladi .Chap 

va O’ng tomonni integrallab,qo’yilgan masalaning yechimini qo’lga kiritamiz. 

       









),

(

)

(

)

(

)

,

(

2

1

1

y

C

y

xC

dx

y

C

y

x

u

   Bu yerda 

)

(

1

y

C

va

)

(

2

y

C

-ga 

bog’liq ixtiyoriy  funksiya .Agar topilgan 

)

,

(

y

x

u

funksiyani ikki marta x-bo’yicha  

defferensiallasak,u xolda 

,

0

2

2







x

u

bo’ladi ,demak topilgan funksiya tenglamani umumiy 

yechimi ekan. 

288 

 

           2.Tenglamaning umumiy yechimini toping 

.

2

2

y

x

y

x

u











 

            Echish:Tenglamani 

y

x

x

u

y

























2

ko’rinishga yozib uning chap va o’ng 

tomonlarini y-bo’yicha integrallasak ,(x-o’zgarmas sanaladi )  ,u holda ; 

















).

(

2

)

(

1

2

2

2

x

C

y

y

x

dy

y

x

x

u

 

Endi x-bo’yicha integrallaymiz (y-o’zgarmas sanaladi ),ya’ni  



















).

(

)

(

2

3

))

(

2

(

)

,

(

2

1

2

3

1

2

2

y

C

x

C

x

y

y

x

dx

x

C

y

y

x

y

x

u

Bu yerda 







.

)

(

)

(

1

1

dx

x

C

x

C

 Xuddi shunday, qaralayotgan tenglamani umumiy yechimi 

quyidagicha : 

       



















).

(

)

(

2

3

))

(

2

(

)

,

(

2

1

2

3

1

2

2

y

C

x

C

x

y

y

x

dx

x

C

y

y

x

y

x

u

                                                                                              

Bu yerda 







.

)

(

)

(

1

1

dx

x

C

x

C

Ixtiyoriy funksiyalar bo’lib, 

)

(

1

x

C



- defferensiallanuvchi. 

3.Xususiy  hosilali defferensial tenglamani yeching  : 

.

2

2

x

u

y

x

u













 

           Echish: Tenglamani 

0

2

























u

y

u

x

ko’rinishda yozib chap  va  o’ng 

tomonlarini x-bo’yicha integrallaymiz .U holda 

).

(

2

1

y

C

u

y

u









Bu tenglamada 

y

u





ni 

y-bo’yicha oddiy hosila kabi qarab,x-ni parametr deb sanaymiz .U holda tenglama 

).

(

2

1

y

C

u

dy

du





ko’rinishda  bo’ladi. Biz birjinsli bo’lmagan birinchi tartibli chiziqli 

tenglamaga ega bo’ldik .Uni yechsak : 





).

(

)

(

)

(

)

(

)

,

(

1

2

2

2

1

2

2

y

C

e

x

C

dy

e

y

C

x

C

e

y

x

u

y

dy

dy



















 

Shuday qilib , 

),

(

)

(

)

,

(

1

2

2

y

C

e

x

C

y

x

u

y







bu yerda 

)

(

2

x

C

va

)

(

1

y

C



-ixtiyoriy 

funksiyalar. 

2.Xuddi hosilali ikkinchi tartibli tenglamalar klassifikasiyasi. 

289 

 

    O’zgaruvchilarni almashtirish yordamida  

    

0

2

2

2

2

2

2





















y

u

c

y

x

u

b

x

u

a

                                     (2.1) 

Tenglamani soddaroq ko’rinishga keltiramiz 

,

0



c

deb yangi 

,

,

2

1

y

x

y

x

















 o’zgaruvchilarni kiritamiz ,bu yerda 

1



va

2



hozircha 

o’zgarmaslar bo’lib turli xil (aks holda 



 va 



 bir biriga erkli funksiyaga bo’lmaydi) son 

shunday qilib , 





















































u

u

x

u

x

u

x

u

                                                    va 

,

2

1

























































u

u

y

u

y

u

y

u

 

 

U holda quyidagi munosabat o’rinli . 

.

,

2

1













































y

x

 

 

Shuning uchun  

,

2

2

2

2

2

2

2

2













































































































u

u

u

u

u

x

u

x

x

u

 

,

)

(

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2







































































































u

u

u

u

u

y

x

u

 

.

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2







































































































u

u

u

u

u

y

u

 

 

Bu ikkinchi tartibli hosilalarni a,2b va c- ga ko’paytirib qo’shamiz .U holda (2.1) 

tenglamaning chap tomoni quyidagicha bo’ladi .                                      

,

2

2

2

2

2

2



























u

C

u

B

u

A

            Bu yerda  

.

2

,

)

(

,

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

















c

b

a

C

c

b

a

B

c

b

a

A





















 

Endi yordamchi kvadrat tenglamani qaraymiz .

 

290 

 

                      

.

0

2

2







a

b

c





            Uning ildizlari   

.

2

2

,

1

c

ac

b

b











   

ac

b

D





2

  diskriminantning qiymatiga qarab uch hol bo’ladi: 

Agar qaralayotgan sohada 

,

0

2



 ac

b

bo’lsa u holda  tenglama gepirbolik tipli ,agar 

,

0

2



 ac

b

bo’lsa u holda (2.1) tenglama parabolic tipli ,agar 

,

0

2



 ac

b

bo’lsa, 

tenglama elliptic tipli bo’ladi. 

U holda gipirbolik tipli tenglamaning kanonik ko’rinishi quyidagicha  

),

'

,

'

,

,

,

(

2

y

x

z

z

z

y

x

f

y

x

z









(yoki 

,

,

,

,

,

2

2

2

2















































z

z

z

z

z

) 

Bu yerda 

);

2

,

2

y

x

y

x













  

Parabolik tipli uchun: 

);

'

,

'

,

,

,

(

2

2

y

x

z

z

z

y

x

f

y

z







 

Elliptik tipli uchun: 

)

'

,

'

,

,

,

(

2

2

2

2

y

x

z

z

z

y

x

f

y

z

x

z













 

   Umumiy holda yangi 

).

,

(

),

,

(

y

x

y

x













-o’zgaruvchilar kiritiladi, 

)

,

(

y

x



 va 

)

,

(

y

x



-ikki marta uzliksiz defferensialanuvchi  funksiyalar va     

.

0

'

'

'

'



y

x

y

x









 

0

2

2

2







dx

c

dxdy

b

dy

a

 defferensiyal tenglama 

).

,

,

,

,

(

2

2

2

2

2

2

y

z

x

z

z

y

x

f

y

z

c

y

x

z

b

x

z

a





























tenglamaning xarakteristik 

tenglamasi diyiladi.