Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Interpolyasiya masalasi qanday qo’yiladi ? 
2. Nyutonning 1 va 2-interpolyasion formulalarini va qo’llash hollarini 
tushintirib bering. 
3. Lagranj  interpolyasion  formulasi  va  qo’llash  hollarini  tushintirib 
bering. 
4. Nyuton  va  Lagranj  interpolyasion  formulalarining  qoldiq  hadi 
qanday baholanadi ? 
 

 
254
8. BIRINChI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMANI  
RUNGE -KUTTA USULI YoRDAMIDA TAQRIBIY  YeChISh 
 
Ishdan maqsad:  Birinchi tartibli differensial tenglamani Runge -Kutta usulida yechishni 
talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: 
  differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash;  
  hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish;  
  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Masalaning qo’yilishi. 
 Birinchi tartibli differensial tenglama 


y
x
f
y
,


                                                (1) 


b
x ,
0
  kesmada 
0
0
y
y
x
x


 
 
                        (2) 
boshlang’ich  shart  bilan  berilgan  bo’lsin. 
b
x 
  nuqtada  noma’lum 
 
x
y
y 
 funksiyaning 
qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. 
Agar  berilgan  masalaning 
 
x
y


yechimini  topish  mumkin  bo’lganda, 
b
x 
  nuqtada, 
ravshanki,   
 
b
y
b
x



  ni  topishimiz  mumkin  bo’ladi.  Lekin  aksariyat  hollarda  masalaning 
umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi. 
Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge -
Kutta usulidir.  
Bu  usul  har  xil  tartibli  aniqlikdagi  sxemalarni  qurishdan  iborat  bo’ladi.  Bu  sxemalar 
EHMda    hisoblash    uchun  juda    qulay    hisoblanadi.      Ko’pgina    qo’llaniladigan    sxemalar 
to’rtinchi tartibli aniqlikda bo’ladi. Hozirda ulardan amaliy hisoblashlarda foydalanilmoqda.  
Usul tavsifi 


b
x ,
0
  kesmada    hosilaga  nisbatan  yechilgan  birinchi    tartibli 
differensial tenglama  


y
x
f
dx
dy
,

 
berilgan bo’lsin va  
0
x
x 
 nuqtada 
0
y
y 
 boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.  
n
x
b
H
0


 qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: 
ih
x
x
i


0
 va 
  

n
i
x
y
y
i
i
,...,
3
,
2
,
1


.  Quyidagi sonlarni qaraymiz: 
 


i
i
i
y
x
hf
K
,
1

,  
 
 











2
,
2
1
2
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
 
 
 
 
 
 


i
i
i
i
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
K
y
H
x
hf
K
3
4
2
3
,
,
2
,
2














   
(3) 
Runge  –  Kutta    usuli  bo’yicha 
H
x
x
i
i


1
    nuqtada  taqribiy  yechimning 
1

i
y
    qiymati 
quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi 

 
255
i
i
i
y
y
y



1
 
  (4) 
bu yerda 
 
 
 
 




,...
2
,
1
,
0
2
2
6
1
4
3
2
1






i
K
K
K
K
y
i
i
i
i
i
 
 
Bu  usul  bo’yicha  bajariladigan  hisoblashlar  quyidagi  jadvalga  sxema  bo’yicha 
joylashtiriladi: 
1 –jadval 
i
 
x
 
y
 


y
x
f
H
K
,


 
y

 
0 
x
0
 
y
0 
 
0
1
K
 
 
0
1
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
 
2
0
1
0
K
y 
 
 
0
2
K
 
 
0
2
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
2
0
2
0
K
y 
 
 
0
3
K
 
 
0
3
K
 
 
H
x 
0
 
 
0
3
0
K
y 
 
 
0
4
K
 
 
0
4
K
 
 
 
 
 
0
y

 
1 
1
x
 
1
y
 
 
 
 
1 —jadvalni to’ldirish  tartibi. 
1)  Jadvalning birinchi satriga 
0
0
, y
x
  berilgan qiymatlarni yozamiz. 
2) 


0
0
, y
x
f
  ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
1
K
 sifatida jadvalga yozamiz. 
3)   Jadvalning ikkinchi satriga 
 
2
,
2
0
1
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
4)  
 
)
2
,
2
(
0
1
0
0
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
2
K
 sifatida jadvalga yozamiz. 
5)   Jadvalning uchinchi satriga 
 
2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
6)  
 










2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x
f
ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
3
K
 sifatida jadvalga 
yozamiz.  
7)  Jadvalning to’rtinchi satriga 
 
0
3
0
0
,
K
y
H
x


larni yozamiz. 
8)   
 


0
3
0
0
,
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
4
K
 sifatida jadvalga yozamiz.  
9)  
y

 ustuniga 
 
 
 
 
0
4
0
3
0
2
0
1
,
2
,
2
,
K
K
K
K
 larni yozamiz.  
10)  
y

 ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 
0
y

 sifatida jadvalga yozamiz.  
11)  
0
0
1
y
y
y



 ni hisoblaymiz. 
 
Keyingi  navbatda 
)
,
(
1
1
y
x
ni  boshlang’ich  nuqta  sifatida  qarab    hisoblashlarni  shu  singari 
davom qildiramiz. 
 
Runge-Kutta  usuli  yordamida  EHMlarida  qadamni  avtomatik  tanlab  hisoblashlar 
bajarilganda  hasoblashlar  ikki  marta  bajariladi.  Birinchisida 
H
qadam  bilan,  ikkinchisida  esa 

 
256
2
H
h 
 qadam bilan. Agar bu holda olingan 
i
y  ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda 
keyingi  
1

i
x
 nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi. 
Runge  -  Romberg  qoidasi  
 
H
k
y
  va 
 
h
k
y
  izlanayotgan  funksiyaning  mos  ravishda 
H
 
va 
h
 qadamlarda hisoblangan qiymatlari  hamda 

 - berilgan absolyut xatolik bo’lsin.  
Barcha 
k
 larda ushbu 
 
 
 
 
 
 
 



H
k
h
k
y
y
2
15
1
 
 
       
 
(6) 
tengsizlik  bajarilganda  berilgan  aniqlikdagi  hisoblashga  erishildi  deb  hisoblanadi.   
H
  va 
h
 
qadamlarda  izlanayotgan  funksiyaning  qiymatlari  hisoblanadi  va  (6)  tengsizlik  teksheriladi.  Agar  (6) 
tengsizlik  barcha 
k
 larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi. 
Misol 
Runge - Kutta  usulida   [0 ; 0,45]   kesmada  
y
x
y



  differensial tenglamaning (Koshi 
masalasini) 
0

x
  da 
1

y
      boshlang’ich      shartni  qanoatlantiruvchi    taqribiy  yechimini  0.001 
aniqlikda hisoblang. 
Yechish 
 
 
001
,
0
4

H
      tengsizlikda  kelib  chiqqan  holda 
15
,
0

H
  qadamni  tanlaymiz.  
U  holda 
3

n
  bo’ladi  va  qadamni  2    marta  kamaytiramiz,  ya’ni 
075
,
0

h
    ni  tanlaymiz,  u 
holda 
6

n
 bo’ladi.  
 
 
Qulaylik  uchun  hisoblash  natijalarini  2  -  jadvalga  yozamiz.  Oxirgi  ustundan 
barcha 
k
  lar  uchun  (6)  tengsizlik  bajarilishi  ko’rinib  turibdi.  Ya’ni  hisoblashning  berilgan 
aniqligiga  erishiladi.  Bu  holda 


6866
,
1
45
,
0

y
  qiymatni  taqribiy  topamiz.  Berilgan 
boshlang’ich shartda qaralayotgan tenglamaning aniq yechimi quyidagicha bo’ladi: 
1
2



x
e
y
x
  
Bundan kelib chiqadiki, 
68662
.
1
1
45
.
0
2
45
.
0
45
,
0





e
y
x
bo’ladi va absolyut xato 
0,00002
1,6866
 
-
 
1,68662


y
| 
hamda nisbiy xato 
%
001
.
0
68662
.
1
00002
.
0


y

 kabi bo’ladi 
 
 
2 -jadval 
 
 
 
 
 
k
 
 
x
 
y
 


y
x
Hf
K
,


 
y

 
x
 
y
 


y
x
f
h
K
,



 
 
 
 
h
k
H
k
K
K
2
15
1


0 
0 
 
1 
0,15 
0,15 
0 
1 
0,075 
0,075 
 
  0,075 
1,075 
0,1725 
0,375 
0,0375  1,0375 
0,0806 
0,1613 
0 
  0,075  1,0863 
0,1742 
0,3484  0,0375  1,0403 
0,0808 
0,1617 
 
 
0,15 
1,1742 
0,1986 
0,1937 
0,075 
1,0808 
0,0867 
0,0867 
 

 
257
 
 
 
 
0,1737 
 
 
 
0,0808 
 
1 
 
 
 
 
0,075 
1,0808 
0,0867 
0,0867 
 
 
 
 
 
 
0,1125  1,1241 
0,0927 
0,1855 
 
 
 
 
 
 
0,1125  1,1272 
0,0920 
0,1860 
 
 
 
 
 
 
0,15 
1,2668 
0,1063 
0,1063 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,0941 
 
2  0,15 
1,1737  0,
19
0,1986 
0,15 
1,1736 
0,0993 
0,0993 
 
  0,225  1,2730  0,2247 
0,4494  0,1875  1,2233 
0,1058 
0,2116  0,000006 
  0,225  1,2860  0,2267 
0,4533  0,1875  1,2266 
0,1061 
0,2121 
 
 
0,30 
1,400 
0,2551 
0,2551 
0,225 
1,2798 
0,1129 
0,1129 
 
 
 
 
 
0,2261 
 
 
 
0,1060 
 
3 
 
 
 
 
0,225 
1,2796 
0,1128 
0,1128 
 
 
 
 
 
 
0,2625  1,3360 
0,1199 
0,2398 
 
 
 
 
 
 
0,2625  1,3395 
0,1202 
0,2403 
 
 
 
 
 
 
0,3 
1,5199 
0,1365 
0,1365 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1216 
 
4  0,30 
1,3998  0,
25
0,2550 
0,3 
1,3997 
0,1275 
0,1275 
 
  0,375  1,5273  0,2853 
0,5707  0,3375  0,4634 
0,1351 
0,2701  0,0000006 
  0,375  1,5425 
0,2876 
0,5752  0,3375  1,4672 
0,1354 
0,2707 
 
 
0,45 
1,6874 
0,3206 
0,3206 
0,375 
1,5351 
0,1433 
0,1433 
 
 
 
 
 
0,2859 
 
 
 
0,1353 
 
5 
 
 
 
 
0,375 
1,5350 
0,1433 
0,1433 
 
 
 
 
 
 
0,4125  1,6027 
0,1411 
0,3023 
 
 
 
 
 
 
0,4125  1,6106 
0,1517 
0,3035 
 
 
 
 
 
 
0,45 
1,6867 
0,1603 
0,1603 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1516 
 
6  0,45 
1,6867 
 
 
0,45 
1,6866 
 
 
0,000006 
 
Masalaning dasturi 
  Program R_Kutta; 
  const 
     n=7; 
  var 
     i     : integer; 
     dy,x0,y0,x,y,K1,K2,K3,K4,h,y2      :  real; 
     txt1     : text; 
 
   Function F(x1:real; y1:real) : real; 
     Begin 
       F:=x1+y1; 

 
258
     End; 
 
     BEGIN 
            x0:=0; y0:=1; h:=0.075; 
        assign(txt1,'R_K.otv');   rewrite(txt1); 
          Writeln(txt1,' Runge-Kutta usuli'); 
 
          Writeln(txt1,'    X     Taqr.echim     Aniq echim'); 
         For i:=1 to n   do  begin 
            K1:=h*F(x0,y0); 
            K2:=h*F(x0+h/2,y0+K1/2); 
            K3:=h*F(x0+h/2,y0+K2/2); 
            K4:=h*F(x0+h,y0+K3); 
            dy:=(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; 
            y2:=2*exp(x0)-x0-1; 
            Writeln(txt1,x0:8:4,'   ',y0:10:6,'   ',y2:10:6); 
            y:=y0+dy; x0:=x0+h;y0:=y; 
         End; 
             close(txt1); 
   END. 
Dasturning natijasi 
           Runge-Kutta usuli 
    X     Taqr.echim     Aniq echim 
  0.0000     1.000000     1.000000 
  0.0750     1.080768     1.080768 
  0.1500     1.173668     1.173668 
  0.2250     1.279645     1.279645 
  0.3000     1.399717     1.399718 
  0.3750     1.534983     1.534983 
  0.4500     1.686624     1.686624 
 
Laboratoriya ishi № 7 
 
Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani Runge-Kutta usulida yeching. 
 
1. 
5
cos
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
2. 
3
cos
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
3. 
10
cos
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
4. 
2
cos
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
5. 
11
cos
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
6. 
5
sin
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
7. 
3
sin
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 

 
259
8. 
10
sin
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
9. 
3
sin
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
10. 
11
sin
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
11. 
12
cos
y
x
y



 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
12. 
2
cos
y
x
y



 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
13. 
4
cos
y
x
y



 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
14. 
5
sin
y
x
y



 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
15. 
2
sin
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
16. 
2
y
x
y
y



 
 
0
,
1
1
0

y
 


0
,
2
;
0
,
1

x
 
17. 
e
y
x
y
sin



 
 
5
,
2
4
,
1
0

y
 


4
,
2
;
4
,
1

x
 
18. 
2
sin
y
x
y



 
 
3
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
19. 
3
sin
y
x
y



 
 
5
,
1
1
,
1
0

y
 


1
,
2
;
1
,
1

x
 
20. 
11
sin
y
x
y



 


2
,
1
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
21. 
25
,
1
sin
y
x
y



 


8
,
1
5
,
0
0

y
 


5
,
1
;
5
,
0

x
 
22. 
15
sin
y
x
y



 


1
,
1
2
,
0
0

y
 


2
,
1
;
2
,
0

x
 
23. 
3
,
1
sin
y
x
y



 
 
8
,
0
1
,
0
0

y
 


1
,
1
;
1
,
0

x
 
24. 
3
,
0
sin
y
x
y



 


6
,
0
5
,
0
0

y
 


5
,
1
;
5
,
0

x
 
25. 
7
,
0
sin
y
x
y



 
 
4
,
1
2
,
1
0

y
 


2
,
2
;
2
,
1

x
 
26. 
25
,
1
cos
y
x
y



 


8
,
0
4
,
0
0

y
 


4
,
1
;
4
,
0

x