Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Misol. Iterasiya usuli bilan  
                                                (3.11) 
tenglamaning musbat ildizlari 5 ta ishonchli raqam bilan topilsin. 
Yechish.  Shturm  metodini  qo’llab,  bu  tengmaning  musbat  ildizlari 
  va 
 
larning  mos  ravishda  (0;  0,5)  oraliqlarda  yotishini  ko’ramiz.  Iterasiya  metodini 
qo’llash uchun (3.11) tenglamani kanonik ko’rinishda yozish kerak. Buni ko’p usullar 
bilan  bajarish  mumkin.  Lekin  har  doim  ham  kanonik  ko’rinishdagi 
  funksiya 
teorema  shartini  qanoatlantiravermaydi.  (3.11)  tenglamani  unga  ekvivalent  bo’lgan, 
masalan, quyidagi uch xil ko’rinishda yozish mumkin: 
                                              (3.12) 
yoki 
                                                (3.13) 
yoki 
.                                               (3.14) 
Har ikkala ildiz atrofida ham 
 lar hosil bo’lgani uchun teoremalagi (3.6) shartni 
 shart bilan  almashtirish mumkin. Endi 
 larning qaysi biri teorema 
shartini qanoatlantirishini ko’raylik 
 bo’lganligi  uchun  har  ikkala  ildiz 
atrofida ham 
, demak (3.12) tenglama uchun iterasiya jarayoni uzoqlashadi. 
Endi  (3.13)  tenglamani  tekshiraylik 
.  Bundan  (0;  0.5)  oraliqda 
 ekanligini ko’ramiz, ya’ni 
 ni topish uchun (3.13) tenglamaga 
)
(
)
(
x
x
x
f



0
)
(


f
q
x
x
f






1
)
(
1
)
(

)),
,
(
~
(
|
|
)
1
(
|
)
(
|
|
|
|
)
(
)
(
|
|
)
(
|






n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
q
f
x
f
x
f
x
x










q
x
x
x
n
n
n




1
|
)
(
|
|
|


|
|
|
)
(
)
(
|
|
)
(
|
1
1







n
n
n
n
n
n
x
x
q
x
x
x
x



|
|
1
|
|
1





n
n
n
x
x
q
q
x

2
1

q
|
|
|
|
1




n
n
n
x
x
x





|
|
1
n
n
x
х




|
|
n
x
0
32
80
)
(
3




x
x
x
f
1

2

)
( x

)
(
32
79
1
3
x
x
x
x





)
(
80
32
2
3
x
x
х




)
(
32
80
3
3
x
x
x




)
(x
i

1
|
)
(
|



q
x
i

)
(x
i

79
3
)
(
2



x
x
i

1
|
)
(
|
1

 x

80
3
)
(
2
2
x
x 


100
1
320
3
|
)
(
|
2




q
x

1


 
52
iterasiya  metodini  qo’llash  mumkin.  Dastlabki  yaqinlashishni 
  deb  olib, 
keyingi to’rtta yaqinlashishni hisoblaymiz: 
 
Demak, 5 ta ishonchli raqami bilan 
 deb olishimiz mumkin.  
 
Tabiiyki,  (3.13)  tenglamada  ikkinchi  ildizni  ham  iterasiya  metodi  bilan 
topishga  harakat  qilamiz.  Lekin  bu  mumkin  emas,  chunki  (8.5;  9)  oraliq  uchun 
  shart  bajarilmaydi.  Shuning  uchun  ham  (3.14)  shartni  tekshirib 
ko’raylik: 
. 
Bundan ko’ramizki, (8.5; 9) oraliqda 
, shu sababli (3.14) tenglamadan 
 ni topishimiz mumkin.  
 
Nolinchi  yaqinlashishni 
  deb  olamiz,  keyingi  yaqinlashishlar  1-jadvalda 
berilgan.  Demak,  5  ta  ishonchli  raqami  bilan  olingan  qiymat 
  ga  teng 
bo’ladi. 
 
 
1-jadval 
 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
9 
8,828 
8,7688 
8,7483 
8,7412 
8,7386 
8,7376 
8.7373 
8,7372 
8,7371 
8,7371 
 
Iterasiya  metodi  yaqinlashishini  tezlashtirishning  bir  usuli  haqida. 
Iterasiya metodining yaqinlashishi yoki uzoqlashishi   ildizning kichik atrofida 
 
hosilaning qiymatiga bog’liq ekanligini yuqorida ko’rgan edik. Lekin J. X. Vegsteyn 
1958  yilda  iterasiya  metodini  shunday  o’zgartirishni  taklif  qilgan  ediki,  buni 
qo’llaganda 
  ning  qiymati  har  qanday  bo’lganda  ham  iterasiya  jarayoni 
yaqinlashadi.  Mabodo   
  tengsizlik  bajarilsa,  u  iterasiya  jarayoniga  nisbatan 
Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi. 
Vegsteyn usuli 
                                                (3.15) 
5
,
0
0

x
.
40080483
,
0
;
40080487
,
0
;
4008094
,
0
;
4015625
,
0
80
32
)
5
,
0
(
4
3
2
3
1






x
x
x
x
40080
,
0
1


1
|
)
(
|
2



q
x

3
2
3
)
32
80
(
3
80
)
(



x
x

2
1
27
10
|
)
(
|
3


 x

2

9
0

x
7371
,
8
2


n
n
x

)
(x


)
(x


1
|
)
(
|

 x

)
(x
х



 
53
formuladan topilgan 
 ni  
                                          (3.16) 
formula  yordamida 
  bilan  almashtirishdan  iborat  bo’lib,  bunda 
  -  kerakli 
ravishda  tanlab  olingan  miqdordir.    ning  qiymatini  aniqlash  uchun  10-chizmadan 
foydalanamiz. 
Faraz qilaylik, 
 (3.15) formula yordamida 
 orqali topilgan bo’lsin, ya’ni 
. U vaqtda   va 
 nuqtalarning koordinatalari mos ravishda 
 va 
 bo’ladi. Bunday holda 
 uchun eng qulay qiymat M nuqtaning 
abssissasidir. Uni topish uchun 
 kesma ustida 
 nuqtani olamiz. Endi 
(3.16) ning har ikkala tomoniga 
 ni qo’shib,  
                                             (3.17) 
ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni 
                                                    (3.18) 
ko’rinishda yozishimiz va  
                                           (3.19) 
tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz   mumkin, bu yerda 
. 
 
 
9-chizma 
  
 ning taqribiy qiymatini topish uchun 
 ni taqribiy ravishda quyidagicha 
almashtiramiz: 
.                                            (3.20)  
(3.18)- (3.20) lardan 
1

n
х
1
1
)
1
(





n
n
n
x
q
qz
z
1

n
z
q
q
1

n
х
n
z
)
(
1
n
n
z
x



А
B
))
(
,
(
n
n
z
z

)
,
(
1
1


n
n
x
x
1

n
z
AB
)
,
(
1
1


n
n
x
z
C
1
)
1
(




n
n
z
q
qz
)
)(
1
(
)
(
1
1
1







n
n
n
n
x
z
q
z
z
q
BC
q
qАА
)
1
( 

)
0
)
(
(
),
~
(







n
n
x
x
AC
MC
BC


n
n
n
z
x
х



~
1
q
)
~
(
n
x

1
1
1
1
)
(
)
(
)
~
(











n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
x
x
z
z
z
z
x




 
54
 
ni hosil qilamiz va   ning taqribiy qiymatini topamiz: 
.                                                (3.21) 
(3.16) va (3.21) formulalardan ko’ramizki,  
.                                            (3.22) 
Bu  formula  x
p+1
  o’rnida  ishlatiladigan 
  ning  qiymatini  beradi.  Vegsteyn  usulini 
amalda  qo’llash  uchun  ildizning  nolinchi  yaqinlashishi 
  ga  bir  marta  oddiy 
iterasiyani qo’llash kerak. Bu birinchi qadamdan so’ng 
 ni topish uchun esa (3.15) 
formulani 
  qurilishda  qullaymiz.  Biz  bu  yerda  bu  jarayonning  oddiy 
iterasiya  jarayoniga  nisbatan  tezroq  yaqinlashishini  qat’iy  ravishda  asoslab 
o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz. 
Misol. Ushbu 
 
tenglamaning  eng  katta  musbat  ildizi 
  aniqlik  bilan  topilsin.  Izlanayotgan 
ildizning nolinchi yaqinlashishi sifatida 
 ni olishimiz mumkin. Bu tenglamani 
                                 (3.23) 
ko’rinishla  yozib  olamiz.  Bu  holda 
  va 
  bo’ladi.  Demak, 
(3.23)  tenglamaga  oddiy  iterasiyani  qo’llab  bo’lmaydi.  Bu  tenglamaning  yechimini 
Vegsteyn  usuli  bilan  topilgan  ketma-ket  yaqinlashishlari 
  aniqlik  bilan  2-
jadvadda keltirilgan. 
2-jadval. 
   
 
 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
0 
1000 
29,7 
-30,3010 
10,2310 
9,97016 
9,966666 
9,9666667906 
9,9666667906 
*10 
*0 
9,9 
10,1 
9,9658 
9,966655 
9,66667791 
9,966666790 
9,96666679061 
9,96666679061 
10 
0 
-   1000 
-   999000 
-   978,10  
 
Bu  jadvalning  uchinchi  ustunida  (3.22)  formula  yordamida  topilgan 
  Lar 
keltirilgan, oxirgi ustun esa oddiy iterasiya usulining uzoqlashishini ko’rsatish uchun 
keltirilgan. Yulduzcha bilan belgilangan qiymatlar  ikkinchi  ustundagi  mos qiymatlar 
bilan ustma-ust tushadi, chunki Vegsteyn usulini qo’llash uchun 
 bo’lishi kerak. 
Hisoblash  xatosining  iterasion  jarayonning  yaqinlashishiga  ta’siri.  Biz 
oldingi  punktlarda  iterasion  jarayonning  ideal  modelini  ko’rib  chiqqan  edik.  Bu 
1
1
)
~
(
1











n
n
n
n
n
z
z
x
x
x
AC
BC
q
q

q
n
n
n
n
n
n
z
z
x
x
x
x
q








1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
z
z
x
z
x
x
x
x
z













1
1
1
1
1
1
)
)(
(
1

n
z
0
x
1

n
х
)
(
1
n
n
z
x



0
1000
)
(
3




x
x
x
f
10
10

10
0

x
3
1000
x
х


2
3
)
(
x
x




300
)
10
(




10
10

n
 
n
n
z
v
x

1
n
z
 
n
n
x
x


1
15
n
z
2

n

 
55
modelda 
 ketma-ketlikniig barcha elementlari absolyut aniq hisoblangai deb faraz 
qilingan edi. Aslida esa qulda hisoblanayotganda ham, mashinada hisoblanayotganda 
ham, biz amamalarni chekli miqdordagi raqamlar ustida bajaramiz. Buning natijasida, 
ya’ni  yaxlitlash  hisobidan,  hisoblash  xatosi  kelib  chiqadi.  Iterasiyaning  birinchi 
qadamida 
  o’rniga  unga  yaqinroq  bo’lgan 
  hosil  qilamiz.  Bu  yerda 
  hisoblash  xatosi  hosil  bo’ladi.  Ikknnchi  qadamda  esa  xato  ikki      sababga   
ko’ra hosil   bo’ladi: birinchidan 
 funksiyada   o’rniga   qo’yiladi, ikkinchidan 
  yaxlitlash  xatosi  bilan  hisoblanadi.  Demak,  topilgan 
  qiymat  faqat  taqribiy 
ravishda 
 ga teng: 
 hisoblash xatosidir. 
Shunday  qilib,  iterasiya  metodiki  qo’llayotganda 
  ketma-ketlik 
o’rniga 
 
ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda 
 - hisoblash xatosi. 
Yuqorida  isbot    qilingan      teoremaning  xulosasi 
  ketma-ketlikka  taalluqli 
bo’lgani  uchun,  agar  biz  qo’shimcha  shart  qo’ymasak,  bu  xulosa 
  ketma-ketlik 
uchun  o’rinli  bo’lmaydi,  xatto  bu  ketma-ketlik 
  ildizga  yaqinlashmasligi  ham 
mumkin. Shuning uchun quyidagi teoremani isbot qilamiz. 
2- teorema. Faraz qilaylik, 
 dastlabki yaqinlashish 
 va 
                                       (3.24) 
tengliklar bilan aniqlangan 
 ketma-ketlik quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 
1) 
 funksiya 
                                                         (3.25) 
oraliqda aniqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalar uchun 
                                             (3.26) 
tengsizlikni qanoatlantirsin; 
2) 
 sonlar uchun 
                                           (3.27) 
gengsizliklar o’rinli bo’lsin;  
3) quyidagi 
                                                   (3.28) 
tengsizliklar bajarilsin. U holda 
1) 
 tenglama (3.25) oraliqda yagona   yechimga ega,  
2) agar 
 bo’lsa, 
 ketma-ketlik   ga yaqinlashadi,  
3) agar 
 bo’lsa, 
 miqdorlar 
                                                     (3.29) 
tengsizlikni qanoatlantiradi. 
 
n
x
)
(
0
1
x
x


1
x
0
0
1


 x
x
)
(x

1
x
1
x
)
(
1
x

2
x
)
(
1
x




1
1
1
2
,
)
(


 x
x
.)
.
.
2
,
1
,
0
( 
n
.)
.
.
,
1
,
0
(
,
)
(
~
1




n
x
x
n
n
n


n

}
{
n
x
}
~
{
n
x

)
( x

0
x
.
.
.
,
2
,
1
,
0
,
~
,
)
(
~
0
0
1





n
x
x
x
x
n
n
n


}
~
{
n
x
)
( x




|
|
0
x
x
)
1
0
(
|
|
|
)
(
)
(
|





q
y
x
q
y
x


n

.
.
.
,
2
,
1
,
0
),
1
0
(
|
|
1
1




n
q
q
n
n












q
x
x
1
,
|
)
(
|
0
0
)
( x
x



1
0
1

 q
}
{
n
x

1
1

q
n
x
~
)
(
1
1
|
~
|
n
n
q
q
х








 
56
Isbot.  Teoremaning  birinchi  tasdig’i  1-  teoremadan  kelib  chiqadi.  Qolgan 
tasdiqlarni isbotlash uchun biz 
                 (3.30) 
tengsizliklarning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. 
Avval shunn ta’kidlab o’tish kerakki, agar x
t
 (3.30) tengsizlikni qanoatlantirsa, 
u (3.25) oraliqda yotadi. 
Haqiqatan ham, (3.30) dan 
 ni hisobga olib, 
                                                  (3.31) 
ga ega bo’lamiz. 1-teoremami isbot qilish jarayonida 
                                                         (3.32) 
ni keltirib chiqargan edik. Keynn bu tengsizlnklardan va (3.28) dan 
 
kelib chiqadi. 
Endi  biz  (3.30)  tengsizlikni  isbot  qilishga  o’tamiz,  buning  uchun  matematik 
induksiya metodiki qo’llaymiz. (3.24) va (3.27) dan 
 bo’lganda 
 
kelib  chiqadi,  bu  esa  (3.30)  ning  t  =  1  bo’lganda  o’rinli  ekanligini  ko’rsatadi.  Endi 
faraz  qilaylik,  (3.30)  t  =  p  bo’lganda  o’rinli  bo’lsin,  uning 
  bo’lganda  ham 
o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. (3.24) dan 
 ni ayirib, 
 
ni hosil qilamiz. 
 va 
 lar (3.25) oraliqda yotadi, shuning uchun ham (3.26), (3.27) 
va (3.30) tengsizliklarda 
 deb olib, 
 
ni hosil qilamiz. 
Demak,  (3.30) 
  uchun  to’g’ri  ekan.  Endi  teoremaning  2),3)- 
tasdiqlarini isbot qilamiz. (3.8) va (3.30) tengsiziklarga ko’ra 
.                                   (3.33) 
Agar 
 bo’lsa, u holda 
 da 
 
bo’lgani uchun, (3.33) dan 
 
.)
.
.
,
2
,
1
(
|
~
|
1
1
1
1







m
q
q
x
x
m
i
i
m
m
m

1
0
1

 q
q
q
x
x
m
i
i
m
m
m







1
|
~
|
1


q
x
х
m



1
|
|
0














q
q
x
x
x
x
x
х
m
m
m
m
1
1
|
|
|
~
|
|
~
|
0
0
0

n





|
|
|
~
|
0
1
1
x
x
1

 n
m
)
(
1
n
n
x
x



n
n
n
n
n
x
x
x
x









)
(
)
~
(
~
1
1
n
х
~
n
x
n
m 























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
|
~
|
|
|
|
)
(
)
~
(
|
|
~
|
n
i
i
i
n
n
n
i
i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
q
x
x
q
x
x
x
x







1

 n
m
n
n
i
i
i
n
n
n
n
n
q
q
q
q
x
x
x
x












1
|
|
|
~
|
|
~
|
1
1
1




1
0
1

 q


n
0
)]
,
[max(
1
1
1
1
1







n
n
i
i
i
n
q
q
n
q
q




n
n
x
~
lim

 
57
kelib  chiqadi.  Agar 
  bo’lsa,  (3.33)  dan  (3.29)  kelib  chiqadi.  Shu  bilan  teorema 
isbot bo’ldi.