Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Yechish: 
x  argument bo’yicha qadam   x =0,1 bo’lsin. 
5
.
0
1
2


h

. Shunga ko’ra  t  
argument bo’yicha qadam 
005
.
0
5
.
0
2


h
l
 bo’ladi. Chegara qiymatlari simmetrik. Shu sababli  
jadvalga 

x
0; 0,1; 0,2;…..;0,5 ga mos qiymatlarni kiritamiz. Hisoblashlar  
2
,
1
,
1
1
,
j
i
j
i
j
i
u
u
u





  
formula bo’yicha bajariladi.  
Hisoblashlardan namunalar: 
0

j
 uchun 
5590
,
0
)
3090
,
0
8090
,
0
(
5
,
0
)
(
5
,
0
,
2939
.
0
)
0
5878
,
0
(
5
,
0
)
(
5
,
0
10
30
21
00
20
11










u
u
u
u
u
u
 
3-misolga                                                                                             To’rlar usuli 
j  
            x 
t 
0  
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0 
1 
0 
0,005 
0 
0 
0,3090 
0,2939 
0,5878 
0,5590 
0,8090 
0,7699 
0,9511 
0,9045 
1,0000 
0,9511 

 
231
2 
3 
4 
5 
0,010 
0,015 
0,020 
0,025 
0 
0 
0 
0 
0,3795 
0,2658 
0,2528 
0,2404 
0,5316 
0,5056 
0,4808 
0,4574 
0,7318 
0,6959 
0,6619 
0,6294 
0,8602 
0,8182 
0,7780 
0,7400 
0,9045 
0,8602 
0,8182 
0,7780 
)
,
( t
x
u
 
0.025 
0 
0.2414 
0.4593 
0.6321 
0.7431 
0.7813 
u
u 
 
0.025 
0 
0.0010 
0.0019 
0.0027 
0.0031 
0.0033 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish. 
Ishdan  maqsad:  To’lqin  tenglamasi  uchun  chekli  ayirmali  sxemalar  tuzishni  va  bu 
tenglama uchun qo`yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechishni talabalarga o’rgatish 
Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz 
0
  
,
0
   
),
,
(
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2









t
l
x
t
x
f
x
u
a
t
u
. 
l
at
t
l
x
x
/
  
,
/
1
1


 o`lchovsiz kattaliklarni kiritib bu tenglamani quyidagicha yozamiz 
T
t
,
x
),
t
,
x
(
f
x
u
t
u










 
0
      
       
1
0
2
2
2
2
. 
 
 
(1) 
Boshlang`ich momentda 
)
(
)
0
,
(
    
),
(
)
0
,
(
0
0
x
u
t
x
u
x
u
x
u




 
 
 
 
 
(2) 
shartlar berilgan, bu erda  u
0
(x) – boshlang`ich chetlashish va  
)
(
0
x
u
  - boshlang`ich tezlik. 
 
Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin  
)
t
(
)
t
,
(
u
),
t
(
)
t
,
(
u
2
1
1
0




    
. 
 
 
 
 
(3) 
 
)
0
    
,
1
0
(
T
t
x
D





 
sohada 
isssiqlik 
o`tkazuvchanlik 
tenglamasini 
approksimatsiyalashda qo`llangan to`rga o`xshash 


h
 to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz 
,
y
y
y
,
y
y
€
y
,
y
y
,
y
y
€
,
y
y
t
t
j
j
j













2
     
    
    
    
1
1
 
















2
2
    
2
   
0
2
y
y
€
y
y
y
,
y
y
y
€
y
y
y
,
y
y
t
t
t
t
t
t
t
x
x
. 
(1) da hosilalarni quyidagi formulalarga almashtiramiz 

 
232







~
f
,
u
u
~
x
u
,
u
~
t
u
x
x
t
t
   
   
2
2
2
2
. 
Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz 
,
)
x
(
u~
)
,
x
(
y
),
x
(
u
)
,
x
(
y
),
t
(
y
),
t
(
y
,
)
t
,
x
(
f
,
)
y
y
)
(
y
€
(
y
t
I
j
t
t
0
0
2
1
0
0
    
0
    
   
    
2
1



















  
(4) 
Misol. 
,
2
2
2
2
x
u
t
u





 
0
)
,
1
(
)
,
0
(
,
0
)
0
,
(
,
sin
)
1
(
2
,
0
)
0
,
(





t
u
t
u
x
u
x
x
x
x
u
t

 masala to’rlar 
usuli qo’llanilib yechilsin. 
 
Yechish: 
05
,
0

 l
h
 qadam bilan kvadrat to’r yasaymiz. Boshlang’ich shartdan 
foydalanib,  
                      
)
10
;
0
(
),
(
5
,
0
,
1
1
1
0






i
f
f
u
f
u
i
i
i
i
i
     
Sistemani tuzamiz. Jadvalni to’ldirish tartibi: 
1) 
)
(
0
i
i
x
f
u

 qiymatlarni hisoblab, birinchi satrga yozamiz. Masalada berilgan ma’lumotlar 
simmetrik bo’lganidan jadvalni 
5
,
0
0

 х
 uchun to’ldirish yetarli. Birinchi ustunga chegara 
qiymatlari yoziladi. 
2) Birinchi satrdagi 
0
i
u  qiymatlardan foydalanib, formula bo’yicha 
1
i
u ni hisoblaymiz va ikkinchi 
satrga yozamiz. 
3) 
1

j
 uchun 
ij
u
 qiymatlarini hisoblaymiz: 
    
,
0050
,
0
0015
,
0
0
0065
,
0
10
01
21
12







u
u
u
u
 
    
,
0094
,
0
0056
,
0
0028
,
0
0122
,
0
20
11
31
22







u
u
u
u
 
    …………………………………………………………… 
456
,
0
0500
,
0
0478
,
0
0478
,
0
0
,
10
91
1
,
11
2
,
10







u
u
u
u
 
Shu tartibda  
10
,....,
3
,
2

j
 uchun hisoblashlar bajariladi. Solishtirish maqsadida eng oxirgi satrda 
yechimning aniq qiymatlari keltirilgan. 
 
 
                              
j
x
 
i
t  
0 
0,05 
0,10 
0,15 
0,20 
0,25 
0,30 
0,35 
0,40 
0,45 
0,50 
0 
0,05 
0,10 
0,15 
0,20 
0,25 
0,30 
0,35 
0,40 
0,45 
0,50 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
15 
28 
50 
66 
74 
76 
70 
58 
42 
21 
-1 
56 
65 
94 
124 
142 
144 
134 
112 
79 
42 
-1 
116 
122 
139 
170 
194 
200 
186 
155 
112 
57 
0 
186 
190 
198 
209 
228 
236 
221 
186 
133 
70 
-2 
265 
264 
260 
256 
251 
249 
236 
199 
144 
74 
0 
340 
335 
322 
302 
277 
251 
227 
194 
140 
74 
-2 
405 
398 
377 
343 
302 
255 
209 
168 
124 
64 
-1 
457 
447 
419 
377 
321 
260 
196 
139 
92 
42 
-2 
489 
478 
447 
397 
335 
262 
190 
120 
64 
26 
-2 
500 
489 
456 
405 
338 
265 
186 
115 
54 
13 
-2 
 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
 
 
Mashqlar 

 
233
 
1. O’zgarmas kuch ta’siri ostida kvadrat plastinkaning deformasiyalanish  
1


u
 Puasson 
tenglamasiga keladi, chegara qiymatlari nolga teng. Tenglama to’rlar usuli qo’llanilib yechilsin. 
2.  Uchlari  A(0;0),  V(0;1),  S(1;1),  D(1;0)  nuqtalarda  joylashgan  kvadrat  uchun  Laplas 
tenglamasining  yechimini  toping.  Chegara  shartlari  jadvalda  keltirilgan.  Yechim  qiymatlarini 
h=0,25 qadam bilan hisoblang. 
 
 
 
 
13. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi. 
 
Masalaning qo`yilishi. 


2
2
1
1
0
0
0
l
x
,
l
x
G





 tomonlari  l
1
  i l
2
 bo`lgan to`g`ri 
to`rtburchak  bo`lsin,  G  –  uning  chegarasi. 



0
0
G
G
  da  Puasson  tenglamasi  uchun  Dirixle 
masalasini qaraymiz: 
)
x
(
u
,
G
)
x
,
x
(
x
),
x
(
f
u








0
2
1
.   
 
(1) 
0
G
 da  
1
1
1
N
/
l
h 
  va   
2
2
2
N
/
l
h 
 qadamlar bilan 
h

 to`rni quramiz, bu erda N
1
>0 va 
N
2
>0  -  butun  sonlar.  Buning  uchun 
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
2
1
N
,
i
,
h
i
x
,
N
,
i
,
h
i
x
)
i
(
)
i
(




  ikki 
to`g`ri chiziqlar oilasini quramiz. 
 
    x
2                                                 
(i
1
h
1
, i
2
h
2
) 
 
 
    l
2 
 
 
 
                                                              
        0                                         l
2 
 
 
Bu    to`g`ri  chiziqlarning  i
1
h
1 
va    i
2
h
2   
koordinatalardagi    kesishish  nuqtasini  x=(i
1
h
1
,  i
2
h
2
)  
tugun deb ataymiz. Umumiy ichki tugunlar soni (N
1
-1)(N
2
-1) ga teng. 
To`g`ri to`rtburchak chegarasida yotuvchi tugun (i
1
=0,N
1
 yoki i
2
=0,N
2
 bo`lganda), quyidagi 
to`rtta (0,0), (0,l
1
), (0,l
2
), (l
1
,l
2
) nuqtadan tashqari nuqtalarni chegaraviy tugunlar deb ataymiz. Ular 


)
h
,
i
,
h
,
i
(
h
2
2
1
1


    to`plamni  tashkil  qiladi.  Barcha  ichki  va  chegaraviy  tugunlar  to`plamini 
h
h
h





 to`r deb ataymiz.  
Har  bir 
h
x


    ichki  tugunda  besh  nuqtali  «xoch»  regulyar  shablonni  qurish  mumkin, 
bunda 
)
(
x

1

=1,  2  tugunlar 
h

  (ya`ni,    yoki 
h

,    yoki 
h

)
 
da  yotadi.  SHuning  uchun  u 
Laplas operatorini barcha ichki tugunlarda  
2
2
1
1
x
x
x
x
u
u
u



 
ayirmali operator bilan almashtirish mumkin.  

 
234
(1)  tenglamaning  o`ng  qismi-  f(x)  ni   
(x)    to`r  funtsiya  bilan  shunday  approktsimatsiya 
qilish  mumkinki 
 
)
(
C
)
x
(
f
,
h
O
)
x
(
f
)
x
(
2
2




 bo`ladi.  f(x)  funktsiyaning uzluksizligini 
hisobga olib,  
(x)=f(x) deb faraz qilamiz. 
(1) masalaga mos keluvchi ayirmali Dirixle masalasini qo`yamiz: ichki tugunlarda (
h

da) 
2
2
1
1
x
x
x
x
y
y
y
),
x
(
f
y






 
 
 
 
  
(2) 
tenglamani qanoatlantiruvchi 
h

 da aniklangan va 
h
 chegarada  
                             y(x)=
(x),     x
h
.
         
 
 
 
 
 
 
  (3) 
qiymatlari berilgan u(x) to`r funktsiyani topish kerak.  
2
1
h
h 
 da 
)
G
(
h
0

 to`r to`g`ri to`rtburchakli, h
1
=h
2
=h da esa kvadrat to`r deyiladi. 
y uchun kvadrat to`rda to`liq ifodani yozamiz 


y
y
y
y
y
h
y
)
l
(
)
l
(
)
l
(
)
l
(
4
1
2
2
1
1
2










. 
0


 bo`lsin. 
0

y
  tenglamani u ga nisbatan echamiz: 


)
l
(
)
l
(
)
l
(
)
l
(
y
y
y
y
y
2
2
1
1
4
1








. 
SHablon  markazidagi  u  ning    qiymati  qolgan  to`rtta  tugundagi  u  larning  o`rta  arifmetik 
qiymatiga  teng  bo`ladi.  Bu  formula  garmonik  funktsiya  uchun  o`rta  qiymat  formulasining  chekli 
ayirmali analogi bo`ladi.   
Misol.  Tekis  plastinka  tomoni  1  ga  teng  kvadrat  shaklida  bo’lib,  tashqi  muhitdan 
izolyasiyalangan, chekka nuqtalari esa 1-chizmada ko’rsatilganidek doimiy kattalikdagi temperatura 
bilan isitiladi. Plastinkaning ichki nuqtalarida temperatura qanday taqsimlanishi aniqlansin. 
                                           5000  10000  10000 10000 5000 
 
 
 
 
  (1,3)    (2,3)    (3,3)   
  (1,2)    (2,2)    (3,2)   
  (1,1)    (2,1)    (3,1)   
       1-chizma                      0          0         0          0         0 
 
Yechish:  Temperatura  taqsimotini   
0
2
2
2
2






y
u
x
u
  Laplas  tenglamasining   
)
,
(
y
x
u
u 
  yechimi 
beradi.  Koordinatalar  boshini    A(0;0)  nuqtaga  joylashtiraylik.  To’qqiz  ta    (1,1),(2,1),…(3,3)  ichki 
nuqtalardagi    (tugunlardagi)   
33
21
11
,.....,
,
u
u
u
  qiymatlarni  topishimiz  kerak.  Chegaraviy  qiymatlar 
simmetrik  (
,
,
,
33
13
32
12
31
11
u
u
u
u
u
u



) 
bo'lganidan , to’qqiz ta emas, balki olti tugun uchun chekli-ayirmali tenglamadan iborat sistema 
tuzamiz: 
 

 
235



































23
33
22
12
13
23
12
22
23
32
21
12
13
13
22
11
21
22
31
11
11
12
21
4
10000
4
10000
0
4
4
0
4
0
4
0
0
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
   yoki    




























23
13
22
12
13
23
12
22
23
12
21
12
13
22
11
21
22
11
11
12
21
4
10000
4
10000
4
2
4
4
2
4
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
 
 
Sistemani Gauss usuli Bilan yechib ,  
,
1875
,
982
,
714
32
12
21
31
11





u
u
u
u
u
 
5268
,
4286
,
2500
23
23
13
22




u
u
u
u
 
qiymatlarni topamiz. 
 
14. Integral tenglamalarni yechish usullari 
 
Ishdan  maqsad:  Integral  tenglamalarni  yadroni  “ko`paytma”  yadro  bilan 
almashtirish yordamida yechish usuli va ketma-ket yaqinlashishlar bilan yechish usulini o`rgatish