Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

2-teorema. (10) oddiy  iterasiya  jarayonining  yaqinlashuvchi  bo’lishi uchun 
B
 matrisaning 
biror normasi birdan kichik bo’lishi kifoyadir. 
Isbot.  Haqiqatan  ham,  agar  ||
B
||<1  bo’lsa,  bu  matrisaning  barcha  xos  sonlari  modullari 
bo’yicha  birdan  kichik  bo’lib,  bundan  1-teoremaga  asosan  oddiy  iterasion  jarayonning 
yaqinlashishligi kelib chiqadi. 
2-teorema bir necha qulay kifoyalilik belgilarini keltirishga imkon beradi. 
3-teorema.  (10)  oddiy  iterasiya  jarayovd  yaqinlashishi  uchun 
B
  matrisaning  elementlari 
quyidagi 
1
|
|
max
1





n
j
ij
i
b
,                                                (11) 
1
|
|
max
1





n
i
ij
j
b
,                                                (12) 
1
|
|
1
,
2





n
j
i
ij
b
                                                (13) 
tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi kifoyadir.  

 
51
Agar biz 






n
i
ij
j
n
j
ij
i
b
B
b
B
1
2
1
1
|
|
max
,|
|
max
 
normalarni eslasak, teoremadagi avvalgi ikkita shart 2- teoremadan kelib chiqadi. Oxirgi shartdagi 
tengsizlik  esa, 
1
3


B
  ning  birdan  kichik  ekanligini  ko’rsatadi.  Haqiqatan  ham,  bu  yerda 
1
  
B
B
  matrisaning  eng  katta  xos  soni  bo’lganligi  va 
B
B
  ning  barcha  xos  sonlari  manfiy 
bo’lmaganligi uchun 
n








.
.
.
2
1
1
 
Lekin  bu  tengsizlikning  o’ng  tomoyaidagi  ifoda 
B
B
  ning  iziga  (ya’ni 
B
B
  matrisa  diagonal 
elementlarining yig’indisiga) teng bo’lib, u esa 


n
j
i
ij
b
1
,
2
|
|
 ra tengdir. 
1. 
1

 D
P
,  bu  yerda 
D
  diagonal  matriad  bo’lib,  diagonal  elementlari  A  matrisaniig 
diagonal elementlari bilan ustma-ust tushsin. Bu holda iterasiya jarayonini tuzish 



















n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
 
sistema  tenglamalarini  mos  ravishda 
nn
a
a
a
,
.
.
.
,
,
22
11
  larga  bo’lib,  hosil  bo’lgan  tenglamalarda 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
  larnn  mos  ravishda  chap  tomonda  qoldirib,  qolganlariii  o’ng  tomonga  o’tkavishdan 
iboratdir. Natijada, 
1
1
,
1
1
22
2
1
22
21
22
2
2
11
1
2
11
12
11
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.














n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
 
sistemaga  ega  bo’lamiz.  Albatta  bu  usulni  qo’llash  mumkin  bo’lishi  uchun  barcha  ai  lar  noldan 
farqli  bo’lishi  kerak.  Bundan  tashqari  diagonal  elementlarning  modullari  boshqa  elementlarining 
modullaridan  ancha  katta  bo’lishi  kerak.  Aniqrog’i  quyidagi  tengsizliklarning  birortasi  bajarilishi 
lozim: 
ii
n
i
j
i
ii
ij
i
a
a
a



 ,
1
max
,                                                   (14) 
1
max
,
1




j
i
i
ii
ij
j
a
a
,                                                     (15) 
1
|
|
1
1
,
1
2
1
2






n
i
i
ij
n
j
ij
a
a
.                                                 (16) 
2. 
s
A
P


1
,  bu  yerda 
 
ij



  elementlarining  modullari  yetarlicha  kichik  bo’lgan 
matrisadir. Bu holda (10) tenglik 
c
A
x
A
x
k
k
)
(
1
)
(
)
1
(







 
ko’rinishga ega bo’lib, A matrisa yaqinlashish shartini qanoatlantiradi. 
Zeydel  metodi.  Zeydel  metodi  chiziqli  bir  qadamli  birinchi  tartibli  iterasion  metoddir.  Bu 

 
52
metod oddiy iterasiya metodi-dan shu bilan farq qiladiki, dastlabki yaqinlashish 
)
,
.
.
.
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
n
x
x
x
 
ga ko’ra 
)
1
(
1
х
 ni topamiz. So’ngra (
)
0
(
)
0
(
2
)
1
(
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
)' ga ko’ra 
)
1
(
2
x
 topiladi va h. k. Barcha 
)
1
(
i
x
 lar 
aniqlanganidan  keyin 
.
.
.
,
,
)
3
(
)
2
(
i
i
x
x
  lar  topiladi.  Aniqroq  aytganda,  hisoblashlar  quyidagi  sxema 
bo’yicha olib boriladi: 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
3
)
(
22
2
)
1
(
1
22
21
22
2
)
1
(
2
2
)
(
11
1
11
1
)
1
(
1






























n
j
k
j
nn
nj
nn
n
k
n
n
i
j
k
j
ii
ij
i
j
k
j
ii
ij
ii
i
k
i
n
j
k
j
j
k
k
n
j
k
j
j
k
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
a
b
x
 
Endi  Zeydel  metodining  yaqinlashish  shartini  ko’rib  chiqaylik.  Bu  shart  quyidagi  teorema  bilan 
beriladi. 
4-teorema. Zeydel metodining yaqinlashishi uchun 
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11








nn
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
tenglamaning barcha ildizlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir. 
Isbot. Berilgan A matrisani ikkita 





























0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
,
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
2
1
1
,
2
1
,
1
12
1
,
2
22
1
21
11
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
D
a
a
a
a
a
a
a
C
 
matrisalar yig’indisi 
D
C
A


 shaklida yozib olamiz. U holda 
b
x
A 
 sistemani 
b
x
D
x
C



 
shaklda yozish mumkin. Zeydel metodi esa 
b
x
D
x
C
k
k




)
(
)
1
(
 
ko’rinishdagi iterasiyadan iboratdar. Bu tenglikni 
)
1
( 
k
х
 ga nisbatan yechsak: 
b
C
x
D
C
x
k
k
1
)
(
1
)
1
(






. 
Bu  esa,  Zeydel  metodining  matrisasi  — 
D
C
1

  bo’lgan  oddiy  iterasiyaga  teng  kuchli  ekanligini 
ko’rsatadi.  Demak,  1-teoremaga  ko’ra  Zeydel  metodining  yaqinlashuvchi  bo’lishi  uchui — 
D
C
1

 
matrisaning  barcha  xos  sonlari  modullari  bo’yicha  birdan  kichik  bo’lishi  zarur  va  kifoyadir. 
Shuning uchun ham 
0
)
det(
1



D
C
E

 
tenglamaning  barcha  ildizlari  modullari  bo’yicha  birdan  kichik  bo’lishi  kerak.  Agar  bu  tenglama 
ildielarining ushbu 
0
)
det(

 D
C

 
tenglama ildizlari bilan ustma-ust tushishini ko’rsatsak, teorema isbot bo’ladi.  

 
53
5-teorema. Agar quyidagi 
1
max
,
1
max
,
1
,
1








n
j
i
i
ii
ij
j
n
i
j
j
ii
ij
i
a
a
a
a
 
shartlarning  birortasi  bajarilsa,  u  holda  ixtiyoriy  dastlabki  yaqinlashish 
)
0
(
х
  uchun  Zeydel  metodi 
yaqinlashadi  va  bu  yaqinlashish  birinchi  shart  bajarilganda  oddiy  iterasiya  metodining 
yakinlashishidan sekin emas. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Aniq va taqribiy usullar. 
2.  Oddiy iterasiya usulini asosiy g’oyasi.  
3.  Yaqinlashish shartlari.  
4.   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
54
4-ma’ruza 
 
ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI UChUN ITERASIYA VA  
NYUTON USSULLARI 
Reja: 
1.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. 
2.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton  metodi bilan yechish. 
 
Tayanch iboralar: metrik fazo tushunchasi, kubik, oktaedrik va sferik masofalar, yopiq shar, 
qisqartirib aks ettirish tushunchasi. 
 
Iterasiya metodi bilan 










0
)
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
,
.
.
.
,
,
(
,
0
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
                                                (1) 
tenglamalar  sistemasini  yechish  masalasiga  o’tamiz.  Buning  uchun  avval  (1)  sistemani  biror  usul 
bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz: 










).
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
),
,
.
.
.
,
,
(
),
,
.
.
.
,
,
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



                                              (2) 
Faraz  qilaylik, 
)
,
.
.
.
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n
x
x
x
x

  dastlabki  yaqinlashish  topilgan  bo’lsin,  u  holda 
keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi: 













).
,
.
.
.
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
),
,
.
.
.
,
,
(
),
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
(
)
(
2
)
(
1
2
)
1
(
2
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
1
(
1
k
n
k
k
n
k
n
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



                                     (3) 
Bu  iterasion  jarayon  yaqinlashishining  yetarli  shartlarini  aniqlash  uchun  qisqartirib  aks  ettirish 
prinsipini qullaymiz. Shu maqsadda p o’lchovli vektorlar fazosi 
n
R  da 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
х 
 vektor va 
(2)  sistemaning  o’ng  tomonidagi 
n



,...,
,
2
1
 
funksiyalarning  qiymatlaridan  tuzilgan 
)
,...,
,
(
2
1
n



 
 vektorni olib 
)
( x
y


 operatorni aniqlaymiz. Bu operator 
n
R  ni 
n
R  ga yoki 
n
R  
ning biror qismiga akslantiradi. Bu operator yordamida (2) sistema 
)
( x
x


,                                   (4) 
(3) iterasion jarayon esa 
,...)
1
,
0
(
)
(
)
(
)
1
(



k
x
х
k
k

                                     (5) 
ko’rinishda yoziladi.  
1- teorema. Faraz qilaylik: 
1) 
)
,
1
(
)
,...,
,
(
2
1
n
i
x
x
x
n
i


 funksiyalar 



|
|
max
)
0
(
x
x
i
                                                    (6) 
sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin; 

 
55
2) bu sohada 
)
,
1
(
1
max
1
n
i
q
x
n
j
j
i
x








                                            (7) 
tengsizliklarni qanoatlantirsin; 
3) dastlabki yaqinlashish 
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
 uchun 









q
n
i
x
x
x
x
n
i
i
1
),
,
1
(
|
)
,...,
,
(
|
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
 
shartlar bajarilsin. U holda (2) tenglamalar sistemasi (6) sohada yagona 
)
,...,
,
(
2
1
n



 
 yechimga 
ega  bo’lib,  (3)  tengliklar  bilan  aniqlanadigan  ketma-ket  yaqinlashishlar  bu  yechimga  intiladi  va 
intilish tezligi 
)
,
1
(
1
|
|
)
(
n
i
q
q
х
n
k
i
i






 
tengsizliklar bilan baholanadi. 
 Nyuton metodi. Bu yerda  n  ta 
n
x
x
x
,
...
,
,
2
1
 noma’lumli  n  ta 










0
)
,
...
,
,
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
,
...
,
,
(
,
0
)
,
...
,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
                                                          (8) 
tenglamalar  sistemasini  yechish uchun  Nyuton  metodini ko’rib chiqamiz. Yozuvni qisqaroq qilish 
maqsadida  x  orqali 
)
,
...
,
,
(
2
1
n
x
x
x
x 
 vektorni va 
)
(x
f
 orqali 
))
,
...
,
,
(
,
.
.
.
),
,
...
,
,
(
(
)
(
2
1
2
1
1
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f

 
vektor-funksiyani belgilaymiz. U holda, (8) sistemani bitta  
0
)
(

x
f
 
vektor-tenglama  shaklida  yozish  mumkin.  (8)  sistemasini  yechish  uchun  Nyuton  metodi,  tabiiyki 
bitta sonli tenglama uchun yuqorida ko’rib o’tilgan metodning umumlashganidir. Yuqoridagidek bu 
yerda ham metodning asosiy g’oyasi chiziqli bo’lmagan (8) sistemani ketma-ket chiziqli sistemaga 
keltirishdan  iboratdir.  Agar  aniq  yechim  Bilan  taqribiy  yechim  orasidagi  xato  yetarlicha  kichik 
bo’lsa, ajratib olingan qism tenglamalar sistemasining bosh qismi bo’ladi. 
 
Faraz  qilaylik,  bizga  (8)  sistemaning  taqribiy  yechimi 
)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n
x
x
x
x

  ma’lum 
bo’lsin, 
)
,
...
,
,
(
2
1
n



 
  oraqali 
)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
2
)
0
(
1
1
)
0
(
n
n
x
x
x
x









  vektor  xatoni 
belgilaymiz.  (8)  sistemada  х   o’rniga 


)
0
(
x
  ni  qo’yib,  hosil  bo’lgan  sistemaning  chap  tomonini 
n



,
...
,
,
2
1
 larning darajalariga nisbatan Teylor qatoriga yoyib, 
n



,
...
,
,
2
1
 ga nisbatan chiziqli 
qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz: 

























).
(
)
(
.
.
.
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
),
(
)
(
.
.
.
)
(
)
0
(
)
0
(
1
1
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
1
1
1
)
0
(
1
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
n
n
n
n
n
n
n




                                  (9) 
Bu sistemani yechib, xatoning taqribiy qiymati 
)
,
...
,
,
(
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
n





 ni topamiz. 
)
0
(

 ni 
)
0
(
x
 ga 
qo’shib, navbatdagi yaqinlashish vektorini hosil qilamiz: 
)
,
.
.
.
,
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
1
)
0
(
)
0
(
)
1
(
n
n
x
x
x
х








. 

 
56
O’z  navbatida 
)
1
(
х
  ni  yaxshilashimiz  mumkin,  buning  uchun 
)
0
(
х
  o’rniga 
)
1
(
х
  ni  qo’yib,  (9) 
ko’rinishdagi sistemani tuzish kerak. Shunday qilib, agar (9) ko’rinishdagi sistemalar yechimga ega 
bo’lsa, biz ketma-ket yaqinlashishlar vektorlarini topamiz. 
 
Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz: 
.
)
(
.
.
.
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
0
(
1
)
0
(
)
0
(
1
1
)
0
(
1

























n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
                                           (10) 
Bu matrisa yordamida (9) sistemani quyidagi bitta vektor-sistema shaklida yozishimiz mumkin: 
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
x
f
x
f
x



. 
Faraz qilaylik, 


х
 nuqtada 
)
(

х
f
  maxsusmas  matrisa  bo’lsin. Determinant o’z elementlarining 
uzluksiz  funksiyalari  bo’lganligi  uchun 


x
  nuqtaning  biror  G   atrofida  (9)  maxsusmas  matrisa 
bo’lib, uning teskarisi 
)
(
1
x
f
x

 mavjud bo’ladi. 
 
Faraz qilaylik, 
G
x

)
0
(
, u vaqtda (7) ning har ikkala tomonini 
)
(
)
0
(
1
x
f
x

 ga ko’paytirib, 
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
x
f
x
f
x




 
yoki  
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
1
)
0
(
)
1
(
x
f
x
f
x
х
x




 
ni hosil qilamiz. Agar 
)
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
k
x
x
x
 lar  G  atrofida yotsa, u holda 
)
1
( 
k
х
 ni  
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
x
k
k
x
f
x
f
x
x




                          (11) 
tenglikdan  topamiz.  Bu 
)
(k
x
  ketma-ket  yaqinlashishlarni  topish  uchun  Nyuton  qoidasidir.  Bu 
qoidaning amalga oshishi uchun 
...)
,
2
,
1
,
0
(
)
(

k
x
k
 lar 
)
(х
f
 ning aniqlanish sohasida yotishi va 
)
(
)
(k
x
x
f
 matrisalar maxsusmas bo’lishi kerak. 
 
Biz hozir L.V.Kantarovichning (11) Nyuton jarayonining yaqinlashishi haqidagi teoremasini 
isbotsiz keltiramiz.