Alisher navoiy nomidagi


Download 323.33 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/11
Sana16.01.2020
Hajmi323.33 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

 

1

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI  



OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI  

 

 



ALISHER NAVOIY NOMIDAGI 

SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI 

 

Algebra va geometriya kafedrasi 



 

 

 



 

 

KOMPLEKS   SONLAR NAZARIYASI 



«Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish 

uchun uslubiy tavsiyalar 

 

 

«5 460100 MATEMATIKA»  



ta’lim yo‘nalishi bakalavr talabalari uchun 

 

 



(Uslubiy qo‘llanma) 

 

 



 

 

 



SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan 

2011 yil  ______da nashrga tavsiya etilgan. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Samarqand – 2011 



 

2

 



 

Kopmpleks sonlar. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish 

uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 46 bet. 

 

Ushbu  uslubiy  qo‘llanma  «  Algebra  va  sonlar  nazariyasi  »  fani  bo‘yicha  «5460100  – 



matematika»  ta’lim  yo‘nalishi  bakalavr  talabalari  va  «5A460100  –  Matematik  mantiq, 

Algebra va sonlar nazariyasi»  mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda 

shu  fanning  namunaviy  o‘quv  dasturidan  kelib  chiqib,  kompleks  sonlar  nazariyasining 

usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar 

yechimlari,  mustaqil  ish  topshiriqlari  va  boshqa  tarqatma  materiallar  keltirilgan.  Keltirilgan 

ma’lumotlar  talabalarga shu  fanni  yanada chuqurroq o‘zlashtirishga  yaqindan  yordam  beradi 

degan umiddamiz. 

 

 



Tuzuvchilar:              U.X. Narzullaev. A.S. Soleev 

 

Mas‘ul muharrir   fizika-matematika fanlari nomzodi,  



dotsent  Nosirova H.N. 

 

 



Taqrizchilar :         fizika-matematika fanlari doktori,  

professor Ikromov I.A. 

 

 

         fizika-matematika fanlari nomzodi,   



dotsent Yaxshiboyev M.Y. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


 

3

 



Tayanch  iboralar:  kompleks  son;  mavhum  birlik;  kompleks  sonning 

haqiqiy va mavhum qismi; kompleks-qo’shma son; kompleks tekislik; haqiqiy va 

mavhum  o’q;  kompleks  sonning  absolyut  qiymati  va  argumenti;  kompleks 

sonning  trigonometrik  shakli;  yig’indining  absolyut  qiymati  haqidagi  teorema; 

Muavr  formulasi;  kompleks  sondan  n-dara-jali  ildiz  chiqarish  formulasi; 

birning  n-darajali  ildizlari;  birning  n-darajali  boshlang’ich  ildizlari;  doiraviy 

ko’phad; Eyler formulasi; kompleks sonning ko’rsatkichli shakli. 

 

1-§.  Algebraik shakldagi kompleks sonlar 



 

 

Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. (ao

kompleks  sonni  haqiqiy  sondan  farqlamaydilar.  Barcha  kompleks  sonlar 

to’plamini  S  orqali  belgilanadi.  (a,b)  va  (c,d)  juftliklar  ularning  mos 

koordintalari teng bo’lgandagina teng deyiladi, ya’ni  

( ) ( )




=

=

<=>

=

.

,



,

d

b

c

a

d

c

b

a

 

Kompleks  sonlarni  qo’shish  va  ko’paytirish  amallari  quyidagi  tengliklar 



yordamida kiritiladi 

(av)+(cd) = (a+cb+d), 

(ab)

(cd) = (ac





bdadbc

 

 (0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash 



qabul qilingan. i

+ 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x



2  

+ 1 = 0 


tenglamaning ildizi bo’ladi. 

 

Har  qanday  z  kompleks  sonni  a  +  bi  algebraik  shaklda  yozish  mumkin. 



Agar bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi dyiladi va Re z 

orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z 

orqali  belgilanadi.  z  =  

  bi  kompleks  son,    z  =  a  +  bi  kompleks  sonning 



kompleks qo’shmasi deyiladi. 

 

Agar c,   bo’lsa bi va di kompleks sonlar teng deyiladi. 



 

Algebraik  shakldagi  kompleks  sonlar  ustida  arifmetik  amallar  quyidagi 

tengliklar yordamida aniqlanadi: 

              (bi) + (di) = (c) + (d)i, 

              (bi

 (di) = (



 c) + (

 d)i, 



              (bi) (di) = (ac 

 bd) + (ad bc)i, 



           

i

d

c

ad

bc

d

c

bd

ac

di

c

bi

a

2

2



2

2

+



+

+



+

=

+



+

 (c+di 



 0, ya’ni s

2

+d



 0). 

Boshqacha  aytganda,  agar  i



1  ekanligini  hisobga  olinsa,  kompleks  sonlar 

ustida  barcha  arifmetik  amallar  haqiqiy  sonlar  ustidagi  xuddi  shunday  amalar 

kabi bajaradi. 

 

Agar  kompleks  sonlarning  yig’indisi,  ayirmasi,  ko’paytmasi  va 



bo’linmasidagi  barcha  sonlarni  ularning  kompleks-qo’shmasiga  almashtirilsa, 

natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi: 



 

4

2



1

2

1



z

z

z

z

+

=



+

,        

2

1

2



1

z

z

z

z

=



,       


2

1

2



1

z

z

z

z

=



,        







=

2



1

2

1



z

z

z

z

     


 

Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi: 







=





=

N

n

n

агар

z

n

агар

z

z

z

z

марта

n

n

,

1



,

2

,



...

4

3



42

1



Agar  z 

 0 bo’lsa: 



n

n

z

z

z

1

,



1

0

=



=

 deb qabul qilinadi. 



Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega: 

Z.

=









=



=

=



=



+

q

p

бунда

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

p

p

p

q

p

q

p

p

p

p

pq

q

p

q

p

q

p

,

 



,

   


,

,

)



(

    


,

)

(



     

,

2



1

2

1



2

1

2



1

 

 



Kompleks  son  z  ning  n-darajali  ildizi  deb  shunday 

,

,



n

z

=

ω



ω

  kompleks 

songa aytiladiki, 

)

  



,

2

(



Н



=

n

n

z

n

ω



 

1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping: 

( 5 – 3 ) + ( – 2 = 6 + ( 8 – i

 

 Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,  





+

=



=



y

x

y

x

y

x

8

2



6

3

5



 

sistemani  hosil  qilamiz.  Bu  sistemadan  x  va  y  noma’lumlarni  topamiz:  

9

28

   



,

3

2



=



=

y

x

. ■ 


2-m i s o l. i ning darajalarini toping. 

 Yechish. Ta’rifga ko’ra i

= 1, i



i va i





1. Shuning uchun  

i



2



i,  i



= i



 i  = 1, i

i



4



i.  

Umuman olganda: i

4n 


= 1, i

4n+1 


ii

4n+2 


1, i



4n+3 

= - i,  n



N. ■ 

3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i)

20

, (1- i)



21



 Yechish.  Bu  masalani  Nyuton  binomi  formulasidan  foydalanib  hal  qilsa 

bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq:  

(1+ i)

= 2i, (1- i)





2i. U holda  

( )


[

]

( )



  

,

2



2

1

)



1

(

10



10

10

2



20

=



=

+

=



+

i

i

i

 

( )



[

]

).



1

(

2



)

1

(



)

2

(



)

1

(



1

)

1



(

 

10



10

10

2



21

i

i

i

i

i

i



=



=



=

■ 



Kompleks  koeffisiyentli  istagan  kvadrat  tenglamani  yechish  uchun, 

avvalo  kompleks  sonning  kvadrat  ildizini  topa  olish  kerak.  Ta’rifga  ko’ra  x+yi 

son a+bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi: 

(yi)

bi                            (*) 



tenglikning bajarilishiga teng kuchli. 

 

5

 (*)    tenglik  quyidagi  formulalar  yordamida  topiladigan  ikkita  har  xil 



yechimlarga ega bo’ladi: 

2

   



;

2

2



2

2

2



a

b

a

y

a

b

a

x

+



±

=

+



+

±

=



bu  yerda  radikal  arifmetik  ildizni  bildiradi,  agar  b

>

  0  bo’lsa,  x  va  y  larning 



ishoralari bir xil qilib, 

<

 0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi. 

4-m i s o l. 

i

10

24



 ildizning qiymatlari 5 

 i va 



5 + i bo’ladi.■ 

Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin.  

5-m i s o l.  Ildizdan chiqaring: 



i

12

5



+

 

Yechish. 



yi

x

i

+

=



+

12

5



 bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra  

(yi)

2  

= 5 + 12i yoki (x



 y



2

) + 2 x y i = 5 + 12i

bundan  



=

=



12

2



5

2

2



xy

y

x

 

sistemani hosil qilamiz. 



Bu sistemadagi  ikala tenglikni  kvadratga ko’tarib  va  ularni qo’shib, (x



y

2

)



2  

= 25 + 144 va  x

y



2  

= 13   larni hosil qilamiz.  

U holda 



=



=

+

5



13

2

2



2

2

y



x

y

x

 sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:  



±

3, 



±

2. 


Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali 

bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x

= 3, y



= 2; x

=-3,  


y

=-2. Shunday qilib, 



i

12

5



+

  ildiz ikkita 3 + 2i va  





 2i qiymatlarga ega.■ 

Endi  kompleks  sonning  kvadrat  ildizini  topishni  bilgan  holda  aynan 

maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli  

ax

bx = 0 

tenglamaning ildizlari  

a

ac

b

b

x

2

4



2

2

,



1

±



=

 



formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin. 

6-m i s o l. (3 

 i)x



- 2(2 


 3i)- 4= 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x



0,4 



 0,8i va x

= 0,2 


 1,4i sonlardan iborat. ■ 

7-m i s o l. Sistemani yeching:  

( )




+

=

+



+

+



=

+



+

i

i)z

(

i)z

(

i

z

i

i)z

(

3

1



1

1

1



1

1

2



1

2

1





Yechish. Sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini  

(1



i) ga, ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini esa (1 + i) ga ko’paytirib 

 


 

6



+



=

+



=



i



iz

z

iz

z

4

2



2

2

2



2

2

2



1

2

1



 

ni hosil qilamiz. 

Bu tenglamalarni qo’shib, 4z

= 4i ga kelamiz. Bundan z



1

i

Birinchi  tenglamadan  ikkalasini  ayirib 

  4  z





i  =  4 

  4i  ni  hosil  qilamiz. 



Bundan 

i

i

i

z

+

=



+

=



1

1

2



.■ 

8-m i s o l. a ning qanday haqiqiy qiymatlarida  

4i



 3ai

+ (2 



 a)

 5 + a 



son haqiqiy bo’ladi?       

 Yechish. i

= 1, i





i bo’lganligi sababli 

1

2



2

5

2



3

4

3



4

+



+

=

+



+





a

)i

a

(

a

a)i

(

a

i

Shuning uchun 2a+2=0 bo’lganda bu son haqiqiy bo’ladi, ya’ni 



1. ■ 


9-m i s o l. 

i

z

z

z

2

3



2

+

=



+

 tenglamani yeching. 



 Yechish. yi bo’lsin. U holda x

y



+ 2- 2yi = 3 + 2i. Haqiqiy va 

mavhum qismlarini tenglashtirib  



=



=

+

+



 

          

2

2

3



2

2

2



y

x

y

x

 

sistemani hosil qilamiz. Bundan 



3

1

   



,

1

±



=



=

x

y

. Natijada,      



i

(

i,   z

)

(

z



=



+

=



)

3

1



3

1

2



1

. ■ 


 

 M A S H Q L A R 

 

1.  Berilgan  z



va  z

2

  kompleks  sonlarning  yig’indisi  va  ko’paytmasini 



toping:  

a) z

= 5+4i , z





2+3i;     b) z



8



7i, z



3i

c) 

 

3



5

 ,

 



3

5

2



1

i

z

i

z

=



+

=



2. z

2



z

1

 ayirmani va 



1

2

z



z

 bo’linmani toping:  

a)  z

= 1+2i,   z



= 5;     b) 

1





1 + 

i

3



i

z

6

2



2

+



=

c) 



i

b

a

z

i

b

a

z

+

=



=

2



1

      


,

3. Hisoblang:  



 

7

.



2

3

2



1

;

)



1

(

)



1

(

)





Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling