Аллакова Дилбар

МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР
а). n- тартибли детерминант деб нимага айтилади?
б). n- тартибли детерминантнинг щар бир щади =андай =оида быйича щосил =илинади?
b). n- тартибли детерминантдаги щадларнинг ишораси =андай ани=ланади?
г). Детерминантнинг =иймати =андай алмаштиришлар бажарса ызгармайди?
д). +андай щолларда детерминантнинг =иймати нолга тенг былади?
19- МАЪРУЗА
МАВЗУ: МИНОРЛАР ВА АЛГЕБРАИК ТЫЛДИРУВЧИЛАР
РЕЖА:
1. n-тартибли детерминантнинг (k n) k-тартибли минори ва =ышимча минор.
2. Алгебраик тылдирувчи.
3. Детерминантларни k-тартибли минорлар быйича ёйиш. Лаплас теоремаси.
4. Мисоллар.
АДАБИЁТЛАР [ 1, 2, 3] .
Тартиби 3 дан ю=ори былган детерминантларни щисоблаш учун тайин бир формула мавжуд эмас. Уларни кыпчилик щолларда тартиби пасайтириб щисобланади. Бунинг учун эса бизга минор ва алгебраик тылдирувчи тушунчалари керак былади.
Фараз =илайлик n -тартибли D детерминант берилган былсин. Ундаги k та сатр ва k та устунини ажратиб уларнинг кесишиш жойидаги элементларидан детерминантдаги тартибда олиб k-тартибли детерминант тузсак бу детерминантга D детерминантнинг k-тартибли минори дейилади. Шу ажратилган сатр ва устунларни ычириб, =олган жойдаги элеметлардан детерминантдаги тартибда олиб n-k -тартибли детерминант тузсак унга k-тартибли минорга мос =ышимча минор дейилади. Масалан: ушбу
n-тартибли детерминантдаги 1,2, ... ,k сатрлари ва 1,2, ... k устунларини ажратиб k-тартибли M минор ва n-k-тартибли =ышимча М' минор тузсак у =уйидагича былади

Агар k=1 былса, бирта элеиентга (масалан, a_ij=M га) эга быламиз.Унинг =ышимча минорини М'_{i j} билан белгилаймиз.
+ышимча минор M’ нинг ычирилган сатрлари i₁ , i₂ ,..., i_k ва устунлар j₁ j₂ , ... , j_k номерларининг (-1) нинг даражасидаги йи\индисига кыпайтмасига М минорга мос алгебраик тылдирувчи дейилади.
Агар биз М га мос алгебраик тылдирувчини А билан белгиласак, у щолда
i₁ + i₂ +...+ i_k+ j₁+ j₂+ ... + ,j_k
A=(-1) M’ былади.
Хусусий щолда M= a_{i j} былса, A_{i j} =(-1) ^i+j M’_{i j} былади.
Мисол. минорига мос алгебраик тылдирувчиси =уйидагича ёзилади: . Шу детерминантдаги a₄₃ элементнинг алгебраик тылдирувчиси

дан иборат былади.
Энди ушбу теоремани исботлаймиз.
1-теорема. D детерминантдаги M минорнинг исталган щадини унга мос алгебраик тылдирувчининг исталган щадига кыпайтирсак, D детерминантнинг щади щосил былади, яъни MA нинг исталган щади D нинг щадидан иборатдир.
Исботи. +уйидаги икки щолни =араймиз.
1⁰-щол. М минор D детерминантнинг ю=ори чап бурчагида, =ышимча минор эса =уйи ынг бурчагида жойлашган былсин:

Бу щолда М нинг алгебраик тылдирувчиси А=(-1)^{1+2+ ... +k+1+2+ ...+k} M' = M'.

M нинг исталган щади
(1) кыринишга эга. Бунда


А= M' нинг исталган щади эса
(2)
кыринишга эга. Бунда

(1) ва (2) нинг кыпайтмаси
(3)
D нинг щади былади. Чунки унда n та кыпайтувчи былиб D нинг щар бир сатри ва устунидан биртадан элемент олинган ва =p+q


, чунки _ ,_ ,_, ..., _k лар _k+1,_k+2 ,_k+3 ,...,_n лардан кичик былгани учун улар билан инверсия ташкил килмайди.
2⁰-хол. М минор D нинг k_ ,k_ , ...,k_r сатрлари ва l₁, l₂ ,..., l_r устунларини ишгол =илсин ва k₁< k₂<....< k_r , l₁< l₂<... _r деб оламиз. Бу щолни 1-холга келтирамиз. Бунинг учун k₁-сатрни ызидан олдинги (k₁-1)-та сатрдан олдинга ытказиб 1-ыринга, k₂-сатрни ызидан олдинги (k₂-2) сатрдан олдинга ытказиб 2-ыринга ва щоказо k_r-cатрни ызидан олдинги (k_r - r) та сатрдан олдинга ытказиб r-ырин-га ёзамиэ. Устунлар билан щам худди шу ишни бажарсак, М минор D' нинг ю=ри чап бурчагида жойлашади ва детерминантнинг хоссаларига кыра
(k₁ -1)+(k₂-2)+ ... +(k_r-r)+(l₁-1)+(l₂-2)+ ...+(l_r-r)
D= (-1)
D' = k₁ +k₂+ ... +k_r+l₁+l₂+ ...+l_r = (-1) D' (3)
1-щолга кыра М нинг исталган щадининг М' нинг ихтиёрий щадига кыпайтмаси D' нинг щадини беради. Энди М нинг ихтиёрий щади
k₁ +k₂+ ... +k_r+l₁+l₂+ ...+l_r
(-1) М' =А нинг исталган щадига кыпайтирсак, (3)га кыра D нинг щадини беради.
2 -теорема (Лаплас теоремаси). n-тартибли D детерминантнинг r та сатр (устун) ларидан барча r-тартибли минорларни тызиб ва уларни мос алгебраик тылдирувчиларга кыпайтириб =ышсак, йи\инди D детерминантнинг =ийматига тенг былади.
Исботи. Шу r - тартибли минорлар M₁, M₂, ... , M_t ва уларга мос алгебраик тылдирувчилар А₁, А₂ , ... , А_t былсин. У щолда
M₁ А₁+ M₂ А₂+ ... + M_t А_е=D (4)
эканлигини исботлаймиз. 1-теоремага кыра M_i нинг исталган щадини А_i нинг исталган щадига кыпайтирсак D нинг щади щосил былади. M_i А_i ва M_j А_j лар(i j) умумий щадга эга эмас, чунки M_i ва M_j лар камида бирта устун элементлари билан фар= =илади.
Энди (4) нинг чап томонида n! та щад бор эканлигини кырсатсак теорема исботланган былади. Детерминантнинг таърифига кыра M_i минорда (r-тартибли детерминант) r! та А_i да эса (n-r) ! та щад бор. У щолда M_i А_i да r!(n-r)! та щад былади. Демак, (4) нинг чап томонида r! (n-r)! t та щад былади. Энди t ни ани=лайлик: C_n^r=n! / r! (n-r)! . Шунинг учун щам r! (n-r)! {n! / r! (n-r)!}= n!. (4) нинг чап томонида n! та щад бор экан.
Мисол.
детерминантни биринчи 2 та сатри быйича щисобланг.



2).

Энди D ни биринчи сатр элементлари быйича ёйиб щисоблайлик.