Алтибаев алишер мажитовичнинг

4.3. Матрицали ўйинни чизиқли программалаштириш масаласига келтириш
ўлчамли ўйинни, умумий ҳолда геометрик талқин қилиб бўлмайди. ва лар катта бўлган ҳолда, ўлчамли матрицали ўйинни оптимал ечимини топиш етарли даражада қийинчиликка олиб келади, аммо уни чизиқли программалаштириш масаласига келтириш орқали ечиш бундай қийинчиликлардан халос этади.
Теорема. Тўлов матрицаси ва ўйин нархи берилганда, ва аралаш стратегияларнинг оптимал бўлиши учун, қуйидаги тенгсизликларнинг

бажарилиши зарур ва етарли.
Демак, теорема тасдиқлайдики, ўйинчининг ихтиёрий соф стратегиясида, ўйинчи аралаш оптимал стратегияни қўлласа, у ҳолда, ўйинчи ўйин нархидан кам бўлмаган ютуққа эга бўлиши, таъминланади; агар ўйинчининг ихтиёрий соф стратегиясида, ўйинчи аралаш оптимал стратегияни қўлласа, у ҳолда, ўйинчи ўйин нархидан кўп бўлмаган ютуққа эга бўлиши, таъминланади.
Демак, ўйин ечими оптималлиги тўғрилигини текшириш учун, юқоридаги оптимал стратегиялар критерияларидан фойдаланамиз.
ўйинчи, стратегиялардан, ўйинчи эса, стратегиялардан иборат бўлсин. Ўйинчиларнинг и оптимал стратегияларини аниқлаш талаб этилсин.
ўйинчининг оптимал стратегиясини кўриб чиқамиз.
Юқоридаги теоремадан, қуйидаги тасдиқнинг тўғрилиги келиб чиқади. Агар ўйинчи аралаш стартегиясини, ўйинчининг соф стратегияларига қарши ишлатса, у ҳолда унинг ўртача ютуғи ёки математик кутилиши қуйидагидан иборат бўлади.
.
оптимал стратегия учун, барча ўртача ютуқлар, ўйин нархидан кам бўлмайди, шунинг учун қуйидаги тенсизликлар системасини ҳосил қиламиз:
(7)
Аниқлик учун, бўлсин.
Бунга доимо эришиш мумкин, яъни агар матрицанинг ҳар бир элементига бирор ўзгармас С сонни қўшиш, оптимал стратегияни ўзгартирмайди, балки фақат ўйин нархини С га оширади.
Системанинг ҳар бир тенгсизликни сонга бўлиб, ушбу янги ўзгарувчиларни киритамиз: .
У ҳолда (7) система, қуйидаги кўринишни олади:
(8)
Сўнгра қуйидаги тенгликни кўрамиз: .
Бу тенгликни сонга бўлиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:

.
(9)

ўйинчининг мақсади ўзининг кафолатланган ютуғини максималлаштириш, яъни ўйиннинг нархи, ни максималлаштириш бўлиб, бу эса, миқдорни минималлаштиришга эквивалентдир. Шунинг учун масала қуйидагича қўйилади: ўзгарувчиларни шундай қийматларини аниқлаш керакки, бунда улар (8) системани қаноатлантириб, (9) функцияга минимал қиймат берсин.
Ҳосил бўлган чизиқли программалаштириш масаласининг математик моделини келтирамиз.

ўйинчининг математик модели	ўйинчининг математик модели
;

Кўриниб турибдики, бу ўзаро иккиланган жуфт чизиқли программалаштириш масаласини ифодалайди. Уларнинг ечими мазкур ўйин масаласининг ечимидир.
Бунда:

(10)

Демак, матрицали ўйин масаласини, чизиқли программалаштириш масаласи усуллари билан ечиш, қуйидаги босқичлардан иборат бўлади.
1. Берилган жуфт ўйин масаласига эквивалент, ўзаро жуфт иккиланган чизиқли программалаштириш масаласини тузиш.
2. Иккиланган масаланинг оптимал планларини аниқлаш.
3. Иккиланган масаланинг оптимал планларидан фойдаланиб, оптимал стратегияларни ва ўйин нархини аниқлаш (10).