Алтибаев алишер мажитовичнинг

Тўлов матрицасини соддалаштириш. Агар тўлов матрицасининг ўлчами қанча катта бўлиб, эгар нуқтаси бўлмаса, у ҳолда масаланинг аралаш оптимал стратегиларини аниқлаш шунча қийинлашади. Шунинг учун ўлчами катта тўлов матрицасини, қулай бўлмаган стратегияларни ташлаб юбориш орқали соддалаштирилади.
Агар ўйинчининг, матрицали ўйиндаги стратегиясига мос i – сатри элементлари, бошқа сатрнинг мос элементларидан катта бўлмаса (кичик ёки тенг), у ҳолда нинг i – стратегияси қулай бўлмаган стратегия дейилади ва бу сатр тўлов матрицасидан чиқариб ташланади.
Агар ўйинчининг, матрицали ўйиннинг бирор стратегиясига мос j – устун элементлари, бошқа устуннинг мос элементларидан кичик бўлмаса (катта ёки тенг), у ҳолда нинг j – стратегияси қулай бўлмаган стратегия дейилади ва бу устун тўлов матрицасидан чиқариб ташланади.
Мисол. Ушбу тўлов матрицасини соддалаштиринг:

B1 B2 B3 В4 В5 αi A1 8 6 4 5 1 1 A2 5 4 3 2 3 2 A3 6 7 6 3 5 3 A4 3 3 2 1 2 1 βj 8 7 6 5 5

α = 3 ≠ β = 5. Тўлов матрицаси эгар нуқтага эга эмас.

Иккинчи ва учинчи сатр элементларини мос равишда таққослаганимизда, иккинчи сатр элементларининг барчаси мос равишда, учинчи сатрнинг мос элементларидан кичик. Демак, А ўйинчининг иккинчи стратегияси қулай бўлмаган стратегия бўлиб, уни ташлаб юборсак бўлади. Шу каби, А₃ ва А₄ ни таққослаб, А₄ ни ташлаб юбориб, қуйидаги ўйин матрицасини ҳосил қиламиз:

	B1	B2	B3	В4	В5
A1	8	6	4	5	1
A3	6	7	6	3	5

Эътибор берсак, В ўйинчининг 1, 2, 3 стратегиялари 5 – стратегияга нисбатан қулай бўлмаган стратегиялардир, чунки В ўйинчи, А ўйинчининг ютуқларини минималлаштиради. Бу стратегияларни ташлаб юборсак 2×2 ўлчамли матрица ҳосил қиламиз, бунда қулай бўлмаган стратегиялар мавжуд эмас.

	В4	В5
A1	5	1
A3	3	5

Тўлов матрицасидаги стратегияларни белгилаб чиқамиз:

В1 В2 αi A1 5 1 1 A2 3 5 3 βj 5 5

α = 3, β = 5.

Агар соддалаштирилган матрицада α=β бўлса, у ҳолда соддалаштирилган матрицадаги α = β = v нарх, берилган матрицага ҳам тегишлидир. Агар α < β бўлса, соддалаштирилган матрица анализ қилинади ва олинган натижа, берилган матрицага ҳам тегишли бўлади.

Мисол. Тўлов матрицасининг эгар нуқтасини топинг

4	7	2
7	3	2
2	1	8

Ечиш. Тўлов матрицанинг эгар нуқтаси мавжудлигини текширамиз. I – ўйинчи максимал ютуқ олиш учун, ўз стратегияларини танлайди, II – ўйинчи эса, I – ўйинчи ютуқларини минималлаштириш учун, ўз стратегиларни танлайди.

Стратегияларлар	B1	B2	B3
A1	4	7	2
A2	7	3	2
A3	2	1	8

ўйинчининг, A₁ максимал соф стратегиясига мос бўлган, кафолатланган ютуқни, яъни ўйиннинг қуйи нархини аниқлаймиз.
ўйиннинг юқори нархи эса дан иборат. Бундан эканлигидан, ўйиннинг эгар нуқтаси мавжуд эмаслиги ва ўйин нархи оралиқда ўзгариши келиб чиқади. Ўйин ечимини аралаш стратегияларда топамиз. Бунинг сабаби, ўйинчилар ўзларининг соф стратегияларини қарши томондан сир тутишидадир.
2. Тўлов матрицани соддалаштирамиз. Матрицанинг қулай бўлмаган сатри ва устуни мавжуд эмас.
3. Аралаш стратегияларда ўйиннинг ечимини топамиз.
Тенгламалар системасини ёзамиз.
I – ўйинчи учун II – ўйинчи учун

Бу системани Гаусс усули билан ечиб, қуйидагиларни топамиз:
(1 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
(2 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
(3 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
I - ўйинчининг оптимал аралаш стратегияси:
(1 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
(2 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
(3 – стратегияни қўллаш эҳтимоли).
II - ўйинчининг оптимал аралаш стратегияси: .
Ўйиннинг нархи: .
График усул. 2x2 ўлчамли ўйиннинг геометрик ечимини, текисликда яққол тасвирлаш мумкин. Бундай ўлчамдаги ўйинларни график усулда ечиш мумкин.
2x2 ўлчамли ўйинни график усулда ечиш, умумий ҳолда, қуйидагилардан иборат.
1. Биринчи (иккинчи) ўйинчининг мос стратегиялари учун, тўғри чизиқлар қурилади.
2. Кесишиш нуқтасининг координаталари аниқланади, яъни бунда биринчи (иккинчи) ўйинчининг оптимал стратегиялари ва ўйин нархи аниқланади.
3. Бошқа ўйинчининг оптимал стратегияси, унинг фаол стратегияларидан ташкил топган тенгламалар системасини ечиш орқали аниқланади.
(2xn) ва (mх2) ўлчамли ўйинларни график усулда ечиш. График усул, ўйинда, ҳеч бўлмаганда битта ўйинчининг иккита стратегияси бўлишига асосланади.
ўлчамли ўйинни кўриб ўтамиз. Айтайлик, ўйин эгар нуқтага эга эмас.

Биринчи ўйинчи	Иккинчи ўйинчи
			…
			… …

Белгилаш киритамиз: - биринчи ўйинчининг 1-стратегияни танлаш эҳтимоли, - биринчи ўйинчининг 2-стратегияни танлаш эҳтимоли, бунда , - иккинчи ўйинчининг 1-стратегияни танлаш эҳтимоли, - иккинчи ўйинчининг 2-стратегияни танлаш эҳтимоли ва ҳоказо, - иккинчи ўйинчининг - стратегияни танлаш эҳтимоли.
Иккинчи ўйинчи, 1-стратегияни қўллаганда, биринчи ўйинчининг кутаётган ютуғи:
.
Шу каби, иккинчи ўйинчининг, 2-, 3-, …, - стратегияларни қўллаганда, биринчи ўйинчининг кутаётган ютуқларини аниқлаймиз. Олинган натижаларни қуйидаги жадвалга жойлаштирамиз:

Иккинчи ўйинчининг соф стратегиялари	Биринчи ўйинчининг кутаётган ютуқлари
1 2 …	…

Жадвалдан кўринадики, биринчи ўйинчининг кутаётган ютуқлари га чизиқли боғланган. Биринчи ўйинчининг кутаётган ютуқларига мос, тўғри чизиқларни қурамиз.
Биринчи ўйинчи, кутаётган минимал ютуқларини максималлаштирадиган, стратегияларни танлайди. Шунинг учун, биринчи ўйинчининг, кутаётган минимал ютуқларини максималлаштирадиган, оптимал стратегияси, тўғри чизиқлар кесишишидан ҳосил бўлган нуқтадан иборат.
Шу каби, иккинчи ўйинчининг оптимал стратегиясини топамиз. Бунда, кутилаётган максимал ютқазишларини минималлаштирадиган, тўғри чизиқлар кесишишидан ҳосил бўлган нуқтадан иборат.
Мисол. Тўлов матрицаси кўринишда берилган, ўйин ечимини аниқланг
.
Ечиш. Бу ҳолда . Ўйиннинг ечими, аралаш стратегияларда аниқланади. Аввало, юқоридаги масалани қуйидагича ёзиб оламиз

Биринчи ўйинчининг кутилаётган ютуқларини аниқлаймиз

Иккинчи ўйинчининг соф стратегиялари	Биринчи ўйинчининг кутаётган ютуқлари
1 2 3

Ўйиннинг ечимини график усулда топамиз (20.1 расм). ўқда, ва нуқталарни белгилаб, улар орқали га перпендикуляр бўлган тўғри чизиқларни ўтказамиз. ни, ифодага қўйиб, 4 ва 2 сонларини ҳосил қиламиз. Уларни мос тўғри чизиқларда белгилаймиз. Бу нуқталарни туташтириб, тўғри чизиқни ҳосил қиламиз.
Шу каби, ва тўғри чизиқларни қурамиз (1 - расм).


1 - расм
Биринчи ўйинчининг оптимал стратегияси, ва тўғри чизиқлар кесишишидан ҳосил бўлган нуқтадан иборат. Чунки, биринчи ўйинчи ютуқларини максималлаштиришни хоҳлайди. .
Ўйин нархи .
Биринчи ўйинчининг оптимал стратегияси бўлиб, ўйин нархи эса дан иборат.
Иккинчи ўйинчининг оптимал стратегиясини аниқлаймиз. 1 - расмдан кўриниб турибдики, иккинчи ўйинчининг оптимал стратегияси ва тўғри чизиқлар кесишишидан ҳосил бўлган нуқтадан иборат. Бу эса иккинчи ўйинчининг 2- ва 3- соф стратегияларига тўғри келади, яъни , .
Энди тўлов матрицасини кўрамиз

Аввало тўлов матрицасини қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз

Иккинчи ўйинчининг кутаётган ютуқларини аниқлаймиз

Биринчи ўйинчининг соф стратегиялари	Иккинчи ўйинчининг кутаётган ютуқлари
1 2

Бундан, 2 - расмдан

Демак, иккинчи ўйинчининг оптимал стратегияси бўлиб, ўйин нархи эса дан иборат.



2 - расм
Келтирилган мисолдан кўринадики, агар тўлов матрицанинг (m ва n катта бўлмаганда) ўлчамлари кичик бўлса, яъни ҳар бир ўйинчининг стратегиялари сони кўп бўлмаса, унинг аралаш стратегиянинг, оптимал стратегиясини осонлик билан топиш мумкин. Агар ўйиннинг ўлчами катта бўлса, унинг ечимини аниқлаш мураккаблашади. Шунинг учун ҳам, оптимал аралаш стратегияларни аниқлашда, тўлов матрицаси юқоридаги каби етарлича соддалаштирилади.