Амалий мавзу: Ҳосила. Ҳосиланинг функцияни текширишга татбиқи, бошланғич функция ва интеграл, дифференциал тенгламалар мавзуларини ўқитиш методикаси

Функцияни текшириш қоидалари тушунтирилганда дастлаб функциянинг ўсиши ва камайиши тушунчалари киритилади ҳамда функциянинг ўсиши ва камайишини текшириш йўли ўргатилади:

Бизга функция берилган бўлсин.
Таъриф-1. Агар функция учун «х» аргументнинг катта қийматига функциянинг катта қиймати мос келса, у ҳолда бу функция ўсувчи дейилади.
Таъриф-2. Агар функция учун «х» аргументнинг катта қийматига функциянинг кичик қиймати мос келса, у ҳолда бу функция камаювчи дейилади.
Биз энди ҳосила тушунчасидан фойдаланиб, функциянинг ўсиши ва камайишини текширамиз.
Теорема 1.
Агар кесмада ҳосилага эга бўлган функция шу кесмада ўсувчи бўлса, унинг ҳосиласи кесмада манфий бўлмайди, яъни
Агар функция кесмада узлуксиз, оралиқда ҳосилага эга бўлса ва учун бўлса, бу функция да ўсади.
Теорема 2.
Агар функция кесмада камайса, шу кесмада бўлади.
Агар оралиқда бўлса, кесмада функция камаяди.
Мисол: функциянинг ўсиш ва камайиш оралиқлари топилсин.
Ечиш: Функция қийматларда аниқланган, ҳосиласини топамиз:

функция ўсувчи, агар ёки . Бундан бўлади.
Функция камаювчи, агар ёки бўлса, бундан бўлади. Бундан бўлади.
Демак, функция интервалда камаювчи, интервалда ўсувчидир.

Шу тариқа функциянинг максимуми ва минимуми тушунчалари киритилиб, унинг максимуми ва минимумини топиш йўли ўргатилади:

Таъриф -1. Агар абсолют миқдори бўйича етарли даражада кичик бўлган ихтиёрий х учун булса, функция х=х₁ нуқтада максимумга (мах) эга дейилади.
Таъриф -2. Агар абсолют миқдори бўйича етарли даражада кичик бўлган ихтиёрий х учун бўлса, функция х = х₂ нуқтада минимумга (мин) эга дейилади (1-расм).

1-расм.
Функциянинг максимум ва минимумлари функциянинг экстремумлари дейилади.
Теорема: Агар дифференциалланувчи функция х=х₁ нуқтада максимумга ёки минимумга эга бо`лса, у ҳолда бо`лади.
Мисол: функция максимум ва минимум нуқталарини топинг.
1.
2.
Функциянинг ҳосиласи х=0 нуқтада нолга тенг бо`лади, лекин бу нуқтада функция на максимумга на минимумга эга эмас (2-расм).

2-расм.
Мисол: функция х=0 нуқтада ҳосилага эга эмас, лекин бу функция шу нуқтада минимумга эга.
Мисол: функциянинг ҳосиласини топамиз.
бу функция х=0 нуқтада ҳосилага эга эмас, чунки да Бу нуқтада функция максимумга ҳам, минимумга ҳам эга эмас.
Ҳосила нолга айланадиган аргументнинг қийматлари критик нуқталари ёки критик қийматлари дейилади.
Функция факат 2 та ҳолда: ҳосила мавжуд ва нолга тенг бўлган нуқталарда ёки ҳосила мавжуд бўлмаган нуқталарда экстремумга эга бўлиши мумкин.
Функцияни биринчи ҳосила ёрдами билан максимум ва минимумга текшириш қуйидаги схема бўйича бажарилади:
1. Функциянинг биринчи ҳосиласи ни топамиз.
2. Аргумент х нинг критик қийматларини топамиз, бунинг учун:
а) биринчи ҳосилани нолга тенглаймиз ва тенгламанинг ҳақиқий илдизларини топамиз.
б) х нинг ҳосила узилишга эга бўладиган қийматларини топамиз.
3. Ҳосиланинг критик нуқтадан чапдаги ва ўнгдаги функциянинг қийматини ҳисоблаймиз.
Натижада қуйидаги схема ҳосил бўлади:

Критик нуқта дан о`тишда ҳосиланинг ишораси					Критик нуқтанинг характери
+	ёки узилувчи		_	Максимум нуқтаси
-	ёки узилувчи		+	Минимум нуқтаси
+	ёки узилувчи		+	Функция фақат ўсади
_	ёки узилувчи		_	Функция фақат камаяди