Amaliy ish. Odt uchun koshi masalasi. Eyler usullari

18. 
    AMALIY ISH. ODT UCHUN KOSHI MASALASI. EYLER USULLARI
    

Asosiy tushunchalar: ODT uchun Koshi masalasi, aniq va taqribiy echim, boshlang‘ich shart, aniq usullar, taqribiy usullar:taqribiy-analitik usul, sonli usul. Iteratsiya va qatorga yoyish usullari, Eyler, Runge - Kutta, Adams usullari, mahalliy va to‘liq xato.
Asosiy formulalar:
1. ODT uchun Koshi masalasi: .
2.Taqribiy analitik usullar: iteratsiya, qatoriga yoyish usullari.
3.Eyler usuli: , .
4.Eyler usulining algoritmi va dasturi.
5.Nazariy savollar va topshiriqlar.


1. ODT uchun Koshi masalasi.
ODT uchun Koshi masalasini qaraymiz:
, (1)
. (2)
(1) oddiy differensial tenglama, (2) boshlang‘ich shart deyiladi. Koshi masalasida (2) boshlang‘ich shartni va ODT (1) ni qanoatlartiruvchi u=u(x) funksiyani topish talab etiladi. Agar (1), (2) shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz, birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega funksiya topilsa, uni aniq echim deyiladi. ODT kursidan ma’lumki funksiyalar biror sohada uzluksiz bo‘lsa, Koshi masalasi aniq echimga ega. Biz bu shartlarni bajarilgan deb qaraymiz.
Lekin bu echimni doim ham aniq topib bo‘lavermaydi. Nьyuton-Leybnits formulasini qo‘llab ushbu Volьter integral tenglamasini olamiz:
.
va ravshanki, echimni aniq topish uchun integral ostidagi funksiya aniq integrallanuvchi bo‘lishi kerak. Masalan, ushbu tenglamada o‘ng tomonning aniq integralini topish mumkin emas.
(1), (2) da u(x) funksiya vektor-funksiya ham bo‘lishi mumkin: Bu holda (1), (2) ODT sistemasiga aylanadi. ODT sistemasiga yuqori tartibli tenglamalarni olib kelish mumkin. Masalan, ikkinchi tartibli ODT uchun Koshi masalasi

ni ushbu belgilashlar yordamida

quyidagi ODT sistemasiga olib kelinadi:
( 3)
( 4)
ODT uchun Koshi masalasining taqribiy echish usullari ikki guruhga bo‘linadi: Taqribiy analitik usullar (iteratsiya-Pikar, qatorga yoyish usullari va h.k.) va sonli usullar (Eyler, Runge-Kutta, Adams va h.k.). Taqribiy analitik usullar yordamida taqribiy echim analitik ko‘rinishda, sonli usullarda esa taqribiy echim odatda jadval ko‘rinishda topiladi.