Amaliy ish. Odt uchun koshi masalasi. Eyler usullari

2. Taqribiy analitik usullar.
a) Iteratsiya yoki Pikar usuli. (1), (2) ni ushbu Volьter integral tenglamasi ko‘rinishida yozib olamiz:
( 5)
So‘ng, deb olib iteratsiyalar ketma-ketligini tuzamiz:
( 6)
Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asosan, agar operator

A:C[a,b] C [a,b]: ,

qisqartirib akslantirish bo‘lsa, ketma-ketlik aniq echimga tekis yaqinlashadi.
Teorema 1. Faraz qilaylik chegaralangan sohada o‘ng tomon f(x,u) Lipshits shartiga bo‘ysinsin:
.
U holda xatolik uchun quyidagi baho o‘rinli:
.
Isbot:֎ (5) dan (6) ni ayiramiz va modulga o‘tamiz:

Bu rekkurent tengsizlikni echamiz. Avvalo,

ekanligidan ketma-ket topamiz:
.֎
Misol 1. Pikar usulini ushbu Koshi masalasiga tadbiq qilamiz:

Ravshanki,

va hokazo. Ko‘rinib turibdiki, sohada qator juda tez yaqinlashadi.
Misoldan ko‘rinadiki, Pikar usuli (6) integral elementar funutsiyalar yordamidagina hisoblansagina yaxshi ishlaydi. Aks holda bu usulni qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Pikar usulida Lipщits o‘zgarmasi L ni quyidagicha hisoblash mumkin:
b) Echimni Teylor qatoriga yoyish.
Faraz qilaylik, bo‘lsin, k 0. Aniq echim u(x) ni nuqta atrofida Teylor formulasi bo‘yicha yoyish mumkin:
. (7)
Bu erda hosilalarni (1) tenglamadan topish mumkin:

Topilgan hosilalar nuqtada hisoblanib ( 7) ga qo‘yiladi va qoldiq had tashlab yuboriladi. Natijada, xatolik bilan taqribiy-analitik echim topiladi:
.
Ravshanki, xatolikni desak, ushbu bahoga kelamiz:
.


3. Eyler usuli. Faraz qilaylik u=u(x) echim ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin, yoki f=f(x,u) funksiya birinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. U holda Teylor formulasiga asosan olamiz:
.
Demak, ekanligini hisobga olsak,

munosabatga kelamiz. Bu erda desak ushbu tenglikni olamiz:
(8)
Bu munosabatda no’malum cheksiz kichik miqdor bor. CHeksiz kichik miqdorni tashlab yuborib yangi miqdor ni quyidagicha kiritib, ushbu
( 9)
Eyler usuliga kelamiz, bu erda sonlar ( 9) rekkurent formula echimi, ravshanki, ya’ni lar larning taqribiy qiymatlari ekan. Endi xatolikni topamiz. (8) dan (9) ni hadma-had ayirib topamiz:
,
.
(10)
Lemma. (10) tengsizlikdan ushbu tengsizlik kelib chiqadi:
.
Isbot.Bu tengsizlikni induksiya usuli bilan osongina ko‘rsatiladi:

Oxirgi tensizlikka ifodalarni qo‘yamiz:
. (11)
.Demak, Eyler usulida mahalliy xatolik , to‘liq xatolik ga teng ekan.SHunday qilib, Eyler usulida [a,b] kesmadagi to‘liq xatolik birinchi tartibli ekan: .