Amaliy ish. Odt uchun koshi masalasi. Eyler usullari

4. Eyler usulining dasturi.
Bitta ODT uchun Eyler usuli
Oraliq, nuqtalar
ODT da o‘ng tomoni, boshlang‘ich shart
Eyler usuli
Natijani chiqarish
Programma asosida eksperimentlar o‘tkazamiz: a, b, u0, n=0 1 0 10:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
u	0.0000	0.0010	0.0050	0.0140	0.0300	0.0551	0.0914	0.1413	0.2072	0.2925	0.4011

Natijaning to‘g‘riligi ko‘rinib turibdi.

Ikkita ODT uchun Eyler usuli.
Oraliq, nuqtalar
O‘ng tomon
Boshlang‘ich shart
Eyler usuli
Natijani chiqarish
Programma asosida eksperimentlar o‘tkazamiz:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
u	1.0000	1.0000	1.0004	1.0022	1.0070	1.0170	1.0351	1.0649	1.1106	1.1777	1.2729
v	1.0000	1.0200	1.0604	1.1223	1.2075	1.3187	1.4599	1.6366	1.8564	2.1295	2.4697

Natijani to‘g‘riligi ko‘rinib turibdi.

5. Nazariy savollar va topshiriqlar
1. ODT uchun taqribiy usullar necha xil bo‘ladi?
2. Eyler usulida mahalliy, to‘liq xatolik nimaga teng?
3. Eyler usulida aniq va taqribiy echim nima?
4. [0,1] kesmada , masala uchun Pikar usulining xatoligini toping.
5. YUqoridagi masala uchun Teylor qatoriga taqribiy echimning yoyish usuli uchun qoldiq hadni baholang.

1.2. ikkinchi tartibli Eyler usullari


Asosiy tushunchalar: ikkinchi tartibli aniqlikdagi takomillashgan Eyler usullari, mahalliy va to‘liq xatolik; prognoz va korreksiya usuli, qoldiq hadlar.
Asosiy formulalar:
1. Takomillashgan Eyler usuli:
, .
2. Prognoz va korreksiya usuli:
, .
3. Usullarning MathCAD dagi algoritmlari.
4. Nazariy savollar va masalalar.

1. Takomillashgan Eyler usuli. Ushbu Nьyuton-Leybnits formulasining xususiy holini qaraymiz:
. ( 1)
Endi ni nuqtada yoyamiz:
.
Lekin, osongina hisoblash mumkinki,
.
Quyida biz integral uchun o‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanamiz: agar f(x), g(x) [a,b] da uzluksiz,va signg(x)=const, bo‘lsa
.
Integral uchun o‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan
, .
SHuning uchun,
.
Endi desak,
. ( 2)
Bu erdan ni to‘g‘ridan to‘g‘ri topish mumkin emas, chunki ham no’malum. Agar Eyler formulasidan
( 3)
ligini e’tiborga olsak va uni (2) ga qo‘ysak xatolik buzilmaydi:
( 4)
xatolikni tashlab yuborib yangi
(5)
tenglamalarga kelamiz. Bu erda va bo‘lyapti. Demak (5) rekkurent tenglama echimi u_i aniq echim qiymati ga xatolik bilan yaqinlashar ekan. miqdor nuqtadagi mahalliy xatolik deyiladi. (5) usul takomillashgan Eyler usuli deyiladi. Uni belgilash kiritib quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
, , . (6)
To‘liq xatoni topamiz: ekanligidan ravshanki,
.
Demak, takomillashgan Eyler usulida to‘liq xatolik teng:
.