Differensial tenglamalarni taqribiy yechimlarini aniqlash. Eyler usuli

DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHIMLARINI ANIQLASH. EYLER USULI.

Reja:

1. 
   Oddiy differentsial tenglamalarni taqribiy yechish. Koshi masalasi.
   
2. 
   Birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun Koshi masalasini taqribiy yechish. Eyler usuli.
   
3. 
   Eylerning takomillashgan usuli.
   

1. Oddiy differentsial tenglamalar uchun Koshi masalasi

Quyidagi n – tartibli differentsial tenglama

(*)
uchun Frantsuz matematigi Ogasten Lui Koshi (1789-1857) masalasi deb, berilgan tenglama va

boshlang’ich shartlar( - berilgan sonlar)ni qanoatlantiruvchi u(x) funksiyani topish masalasiga aytiladi.
Quyidagi oddiy differentsial tenglamalar sistemasi
(**)
uchun Koshi masalasi deb, berilgan tenglama va

boshlang’ich shartlar( - berilgan sonlar)ni qanoatlantiruvchi - funksiyalarni topish masalasiga aytiladi.
Agar differentsial tenglamalar sistemasi tarkibida yuqori tartibli hosilalar ishtrok etgan va yuqori tartibli hosilalarga nisbatan yechilgan bo‘lsa, bunday differentsial tenglamalar sistemasini yangi noma’lum funkiyalar kiritish bilan yuqoridagi (**) oddiy differentsial tenglamalar sistemasi ko‘rinishiga keltirish mumkin. Xususan, n – tartibli

differentsial tenglamasini (**) oddiy differentsial tenglamalar sistemasiga kertirish uchun quyidagidek

almashtirish qilamiz va (**) sistemani quyidagicha yozamiz:

(*) tenglama va (**) sistema uchun Koshi masalasinig umumiy yechimni topish qiyin bo‘lgan hollarda uni taqribiy yechishga to‘g’ri keladi, ya’ni umumiy yechimning taqribiy qiymatlarini hisoblaymiz.


2. Birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun Koshi masalasini taqribiy yechish. Eyler usuli

Aytaylik bizga birinchi tartibli

y = f (x,y) (9.1)
differentsial tenglama berilgan bo‘lib, [x,b] kesmada
x=x₀, y=y₀ (9.2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimning qiymatlarini taqribiy hisoblash masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. Bu masala Koshi masalasi deyiladi. Bu masalani taqribiy yechishning bir nyecha usullari majud bo‘lib shulardan biri Shvetsariyalik, rus olimi, akademik Leonard Eyler (1707-1783) usulini ko‘ramiz.

Berilgan [x₀,b] kesmani n ta teng bo‘lakka bo‘lib bo‘linish nuqtalari orasidagi qadam

h=(b-x₀)/n (9.3)
bo‘lganda, bu nuqtalar koordinatalari
x_i=x_i-1+ h, i=1, 2, ….n (9.4)


bo‘ladi. Boshlang’ich shartdagi x₀ va y₀ lardan foydalanib tenglama yechimining qiymatlarini taqriban quyidagicha hisoblaymiz.


y₁=y₀+hf (x₀,y₀)


y₂=y₁+hf (x₁,y₁)


y₃=y₂+hf (x₂,y₂) (9.5)
- - - - - - - - - -
y_n=y_n-1+hf (x _n-1,y _n-1)
natijada izlanayotgan yechimni qanoatlantiruvchi
(x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂), ……, (x_n;y_n)
nuqtalarni aniqlaymiz. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi sinik chiziq Eyler chizig’i deb ataladi va u tenglama yechimining taqribiy grafigini ifodalaydi.