Analitik mexanikadan boshlang‘ich ma’lumotlar

Q_i kattalikka q_i umumlashgan koordinataga mos bo’lgan umumlashgan kuch deyiladi. Umumlashgan kuchning o’lchovi unga mos bo’lgan umumlashgan koordinataning o’lchoviga bog’liq bo’ladi va quyidagicha aniqlanadi

bunda [A] - ishning o’lchovi. Agar umumlashgan koordinata uzunlik birligida o’lchansa, umumlashgan kuch birligi (N) da o’lchanadi, agar umumlashgan koordinata burchak o’lchoviga ega bo’lsa, umumlashgan kuch kuchning momenti birligi (Nм) da o’lchanadi.
Umumlashgan kuchlarni hisoblash usullarini ko’rib chiqamiz:
a)umumlashgan kuchlarni (13.19) formula vositasida hisoblash mumkin. Bu formuladagi ikkita vektorning skalyar ko’paytmasini ularning koordinata o’qlaridagi proektsiyalari orqali ifodalasak, umumlashgan kuch uchun quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi
(13.21)
b)umumlashgan kuchni hisoblash uchun sistemaga shunday mumkin bo’lgan ko’chish beramizki natijada faqat q₁ noldan farqli bo’lsin: q₁0, q₂=0,..., q_п=0. Bunday ko’chishda sistema nuqtalariga qo’yilgan barcha kuchlarning mumkin bo’lgan ishi (А)_q ni (13.20) ga ko’ra hisoblaymiz bundan
(13.22)
v)agar sistema nuqtalariga ta‘sir etuvchi kuchlar potentsialga ega bo’lsa, u holda tengliklar o’rinli bo’ladi. larning bu qiymatlarini (13.22) ga qo’ysak

Ushbu tenglikning o’ng tomoni U funktsiyadan umumlashgan koordinata q_i bo’yicha olingan xususiy hosilaga teng, ya‘ni
(13.23)
SHunday qilib, potentsialli kuchlar ta‘siridagi sistemaning umumlashgan kuchi, kuchning potentsialidan mos umumlashgan koordinata bo’yicha olingan xususiy hosilaga teng bo’ladi. Sistemaning potentsial energiyasi П(q₁, q₂, ..., q_п)=-U(q₁, q₂, ..., q_п) formula yordamida aniqlanishini e‘tiborga olsak, umumlashgan kuch uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi
(13.24)
Agar ishqalanish kuchi mavjud bo’lsa, u holda ushbu kuchni aktiv kuchlar qatoriga qo’shib, unga mos umumlashgan kuchlar hisoblanadi.
6.1788 yilda Lagranj ideal, statsionar va bo’shatmaydigan bog’lanishlar qo’yilgan moddiy nuqtalar sistemasining muvozanati haqidagi mumkin bo’lgan ko’chish printsipini bayon etdi.
Teorema. Ideal, statsionar va bo’shatmaydigan bog’lanishlar qo’yilgan moddiy nuqtalar sistemasi muvozanatda bo’lishi uchun sistema nuqtalariga qo’yilgan barcha aktiv kuchlarning sistema nuqtalarining har qanday mumkin bo’lgan ko’chishdagi elementar ishlari yig’indisi nolga teng bo’lishi, hamda sistema barcha nuqtalarining berilgan ondagi tezliklari nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
F_кr_к=0 (13.25)
Isbot. Zarurligi. Agar mexanik sistema muvozanatda bo’lsa, ushbu sistemaning har bir nuqtasiga qo’yilgan F_к aktiv kuch va R_к bog’lanish reaktsiya kuchlari statika bo’limida chiqarilgan bir nuqtaga qo’yilgan kuchlarning muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi, ya‘ni
F_к+ R_к=0
Berilgan holatdagi sistema nuqtalariga r₁, r₂, ..., r_ mumkin bo’lgan ko’chishlar beramiz va muvozanat tenglamalarining har birini r_к ga ko’paytirib qo’shamiz
(F_к+ R_к)r_к=0
yoki
F_кr_к+R_кr_к=0 (13.26)
Sistema nuqtalariga qo’yilgan bog’lanishlar ideal bog’lanishlardan iborat bo’lgani uchun R_кr_к=0. SHunday qilib
F_кr_к=0
Yetarliligi. Aytaylik, teoremaning barcha shartlari bajarilishiga qaramay, sistema nuqtalari muvozanatda bo’lmasin. U holda sistemaning kamida bitta nuqtasi uchun kuchlarning muvozanat shartlari bajarilmaydi, ya‘ni

Sistema nuqtalariga mumkin bo’lgan ko’chish beramiz. Sistema nuqtalariga qo’shilgan bog’lanishlar statsionar bog’lanishdan iborat bo’lgani uchun sistema har bir nuqtasining nolga teng bo’lmagan teng ta‘sir etuvchi kuchdan olgan haqiqiy elementar ko’chishi mumkin bo’lgan ko’chishlarning birortasi bilan ustma-ust tushadi. Teorema shartiga ko’ra sistema har bir nuqtasining berilgan ondagi tezligi nolga teng bo’lgani uchun haqiqiy elementar ko’chishlar mazkur nuqtaning tezlanishi yoki teng ta‘sir etuvchi kuch bo’ylab yo’naladi. Oxirgi tenglikni ga skalyar ko’paytirsak, sistemaning muvozanat holatidan chiqarilgan biror nuqtasi uchun bo’ladi. Bunday tengsizliklarni sistemaning barcha nuqtalari uchun yozib, ularni qo’shsak quyidagi munosabatni olamiz
(13.27)
Ideal bog’lanishlar uchun bo’lgani tufayli (13.27) dan quyidagi tengsizlikni olamiz.

Bu natija (13.25) ga ziddir. Chunki (13.25) bajarilsa sistema muvozanat holatida qolishi kerak. Shunday qilib (13.25) mexanik sistema muvozanatining zarur va yetarli sharti ekani isbotlandi.
Elementar ishning analitik ifodasidan foydalanib mumkin bo’lgan ko’chish printsipini quyidagicha yozish mumkin.
(13.28)