Andijon davlat universiteti

 

 

6-misol. 

2

1

4

2

3















x

x

 tenglamani yeching. 

 

Yechish. 

2

1



x

  butun son bo’lgani uchun 

1

2

;

2

1









n

x

n

x

. 

4

4

4

2

3

;

2

1

4

2

3

4

2

3









































x

x

x

x

x

 

1

4

2

3

0



















x

  dan 

8

4

;

1

4

4

0











x

x

. 

5

,

4

2

1

5

,

2







x

. Demak, 

5

,

4

5

,

2





n

, bundan 

4

3





n

va

n

 bo’ladi. U holda  

5

1

2







n

x

 

va 

7

1

2







n

x

. 

 

2-§.  Sonning butun va kasr qismi qatnashgan 

R

c

b

a



,

,

 uchun 

c

bx

ax





]

[

 va 

c

bx

ax





}

{

 va 

)]

(

[

)]

(

[

x

g

x

f



 ko’rinishdagi tenglamalarni yechish metodikasi. 

Maktab,akademik litsey va kasb-hunar kollejlarining matematika darslarida quyidagi 

ko’rinishdagi 

R

c

b

a



,

,

 uchun 

c

bx

ax





]

[

 va 

c

bx

ax





}

{

 

tenglamalarni yechish va ularni o’quvchilarga o’rgatish metodikasini ko’rib chiqaylik  

a) 

c

bx

ax





]

[

 tenglamadan 

Z

c

bx





 bo’lgani uchun, 

.

,

Z

n

b

c

n

x







 

ikkinchi  tomondan  esa, 

}

{

]

[

ax

ax

ax





  bo’lgani  uchun  ,  qaralayotgan  tenglama 

}

{

)

(

ax

c

x

b

a







 ko’rinishda bo’lib 

1

)

(

0









c

x

b

a

 

tengsizlik bajarilishi lozim. 

 

Demak, bu holda 

Z

n



 soni  

1

)

)(

(

0











c

b

c

n

b

a

 

tengsizlikdan aniqlanadi va berilgan tenglamaning yechimlari topiladi. 

 

 

- 42 - 

 

3-misol.  

2

5

]

3

[





x

x

 tenglamani yeching. 

Yechish.  Berilgan  misolda 

2

;

5

;

3









c

b

a

  bo’gani  uchun  yechim 

5

2





n

x

  formula 

bo’yicha beriladi, va  n  esa, 

1

2

5

)

2

)(

5

3

(

0











n

 

tengsizlikdan aniqlanadi. 

 

Oxirgi tengsizlikdan 

3

2

1





n

 bo’lgani uchun, tenglamaning yechimlari 

3

1

;

5

2









n

n

x

 

ya’ni 

1

;

5

4

;

5

3



x

 sonlaridan iborat bo’ladi. 

b) 

c

bx

ax





}

{

 ko’rinishdagi tenglamani yechish uchun berilgan tenglamani 

c

x

b

a

ax







)

(

]

[

 

ko’rinishda yozish maqsadga muvofiq. 

 

Z

ax



]

[

 bo’lgani uchun , 

Z

n

n

c

x

b

a









,

)

(

 bundan 

b

a

c

n

x







 bo’ladi. 

)

1

,

0

[

)

(



















b

a

ac

bn

c

b

a

c

n

b

c

bx

 

bo’lgani uchun  n  ni  

1

0









b

a

ac

n

 

tengsizlik orqali aniqlashimiz mumkin. 

 

 

4-misol. 

2

5

}

3

{





x

x

 tenglamani yeching. 

 

 

Yechish. 

1

2

5

0







x

 ya’ni 

5

1

5

2









x

 ekanligi ko’rinib turibdi. Tenglamani 

 

2

5

]

3

[

3







x

x

x

 

 yoki  

2

2

]

3

[







x

x

 

ko’rinishda yozib, 

Z

x



]

3

[

 ekanligi e’tiborga olinsa 

Z

n

n

x









,

2

2

 

bo’ladi, ya’ni yechim 

2

2







n

x

 

formula bilan topilishini ko’ramiz. 

 

n ni aniqlash uchun 

5

1

5

2









x

 tengsizlikdan foydalanamiz: 

 

 

- 43 - 

5

1

2

2

5

2













n

. 

Bundan 

5

8

5

6







nx

 tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun 

Z

n



 soni mavjud bo’lmagani uchun 

berilgan tenglama yechimga ega emasligi kelib chiqadi. 

 

)]

(

[

)]

(

[

x

g

x

f



 ko’rinishdagi tenglamalarni yechish. 

 

Aytaylik 

k

x

g

x

f





)]

(

[

)]

(

[

,   

Z

k



  bo’lsin.  u  holda 

1

)

(







k

x

f

k

  va 

1

)

(







k

x

g

k

. 

Bu tengsizliklardan izlanayotgan yechim 

1

)

(

)

(

1









x

g

x

f

 

tengsizlikni qanoatlantirishi kelib chiqadi. 

 

Bunday    tenglamalarni  yechishda,  agar  x  tenglamaning  yechimi  bo’lsa, 

)

(

)

(

g

D

f

D

x





 

bo’lib, 

Z

x

g



)

(

 

bo’lishi 

kerak. 

Shuningdek 

)

(

)}

(

{

)

(

x

g

x

f

x

f





 

tenglamadan 

1

)

(

)

(

0







x

g

x

f

 shart ham bajarilishi kelib chiqadi. 

 

Demak, qaralayotgan tenglamaning yechimi 























1

)

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

Z

x

g

g

D

f

D

x

 

sistemani yechishdan hosil qilinadi. 

 

 

5-misol. 

2

1

4

2

3















x

x

 tenglamani yeching. 

Z

x





2

1

 bo’lgani uchun 

Z

n

n

x







,

1

2

. 

Ammo 































4

2

3

4

2

3

4

2

3

x

x

x

  bo’lgani  uchun,  berilgan  tenglama 

4

4

4

2

3



















x

x

 

tenglamaga teng kuchli. 

 

 

Bundan 

1

4

4

0







x

  ya’ni 

8

4





x

  bo’lishi  kerak.  Demak, 

Z

n

n







;

5

,

4

5

,

2

 

bo’lgani  uchun, 

4

3





n

va

n

  bo’lishi  lozim.  U  holda 

7

5





n

va

n

  berilgan  tenglamaning 

yechimlari bo’ladi. 

 

6-misol. 

11

24

}

{

16

]

[

16

2

2







x

x

x

 tenglama ildizlarini toping. 

Yechish. 

}

{

]

[

x

x

x





  bo’lgani  uchun  tenglamani 

11

}

{

24

}

{

16

]

[

24

]

[

16

2

2









x

x

x

x

  yoki 



 



29

3

}

{

4

3

]

[

4

2

2









x

x

 ko’rinishda yozishimiz mumkin. 

 

 

- 44 - 

Z

x





3

]

[

4

  dan 





2

3

]

[

4



x

--butun  sonning  qvadrati  ekanligi  ravshan, 

]

1

,

0

[

}

{



x

  dan 

]

1

;

3

[

3

}

{

4







x

  bo’lib, 





9

3

}

{

4

2





x

  bo’lgani  uchun, 





20

3

]

[

4

2





x

  tengsizlik  bajarilishi 

kerak. Qvadrati 20 da katta butun songa boshqa butun son qo’shilganda 29 bo’lgani uchun,  

























4

3

}

{

4

25

3

]

[

4

2

2

x

x

 

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 

]

1

;

3

[

3

}

{

4







x

 bo’lgani uchun oxirgi sistemadan 

















2

3

}

{

4

5

3

]

[

4

x

x

 

tenglamalar  sistemasini  hosil  qilamiz.  Va  bundan  esa 

4

1

}

{

,

2

]

[





x

x

  ya’ni  noma’lum 

25

,

2

4

1

2







x

 gat eng ekanligiga hosil qilamiz. 

 

 

7-misol. 

5

7

15

8

6

5











 

x

x

 tenglamani yeching. 

1

5

7

15

8

6

5

0











x

x

  ga  ko’ra  tenglamaning  yechimi 

9

,

0

90

41





x

  shartni  qanoatlantirishi 

lozim. 

t

x





5

7

15

  deb  belgilasak, 

15

7

5





t

x

  bo’lib,  tenglama 

t

t













40

39

10

  ko’rinishga  keladi,  bu 

yerda t-butun son. 

1

40

39

10

0









t

t

 yoki 

3

,

1

30

1







t

 bo’lgani uchun 

1

0

2

1





t

va

t

 bo’lishi kerak. 

Demak 

5

4

15

12

15

7

1

5

15

7

5

;

15

7

15

7

0

5

15

7

5

2

2

1

1



























t

x

t

x

. 

 

 

8-misol. 



























y

x

y

x

x

y

x

15

]

4

[

]

5

[

6

]

8

[

  tenglamalar sistemasini yeching. 

x



6

 butun son bo’lgani uchun x ham butun son va demak, ikkinchi tenglamadan y ham butun 

son ekanligi kelib chiqadi. Demak, sistema 



























y

x

y

x

x

y

x

15

4

5

6

8

 

bo’lib, bundan 

10

;

2





y

x

. J: (2,10) 

 

    9-misol. 

21

]

[

3





x

x

 tenglamani yeching. 

 

 

- 45 - 

1-usul. 

t

x





21

3

 deb belgilasak 

3

21





t

x

 bo’lib, tenglama 





3

21





t

t

 ko’rinishga keladi 

va 

1

21

0

3









t

t

  tengsizlik  bajarilishi  lozim.  Bundan 

21

)

1

(

3







t

t

  va 

21

3





t

t

 

tengsizliklar bir vaqtda bajarilishi lozim.  

 

Birinchi tengsizlik t ning 2, 3, 4, … qiymatlarida, ikkinchi tengsizlik esa t ning 2, 1, 0, -1, … 

qiymatlarida, har ikkalasi esa 

2



t

 da bajariladi.  

 

Demak, 

3

3

3

21

21

2

21













x

x

x

. 

2-usul. Berilgan tenglamadan 

1

21

0

3









x

x

 ya’ni 

21

)

1

(

20

2







x

x

. 

Bu tengsizlikdan 

3

2





x

 bo’lgani uchun 

2

]

[



x

 bo’lib,   

3

3

3

21

21

2

21









x

x

x

 

 bo’ladi.