Andijon fakulteti

Differensial hisob matematikaning hosilalar va differensiallarni hisoblash, ularning xossalarini oʻrganish hamda funksiyalarni tekshirishga tatbiq qilish bilann shugʻullanadigan boʻlimi. 17-asrga kelib Yevropada ishlab chiqarish kuchlarining oʻsishi, turli mashina va inshootlarning yaratilishi, kemasoalikning rivojlanishi, ballistika (umuman, harbiy ish) talablari aniq fanlar, jumladan matematika oldiga juda koʻp yangi masalalarni qoʻyganligi munosabati bilann differensial hisob va integral hisob gʻoyalari vujudga keldi. Differnsial hisobning vujudga kelishidagi dastlabki ishlar egri chiziqqa urinma oʻtkazish masalasini yechishda Ferma, René Descartes va boshqa matematiklar tomonidan qilingan. Isaac Newton va Gottfried Leibniz oʻzlaridan avvalgi matematiklarning bu boradagi ishlarini nihoyasiga yetkazdilar. 17-asr oxiri va 18 asr boshlarida matematik analiz mustaqil fan sifatida shakllandi.
Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.
Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar X (a,b) nuqtada u'(x) va v'(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasi shu x nuqtada hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:
(u±v)'=u'±v';
(uv)'=u'v+uv'
‘=
Isboti. [u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x) ekanligini ko’rsataylik. y=u(x)+v(x) deb x ga x orttirma bersak u(x), v(x) funksiyalar ham orttirma oladi: au=u(x+ax)-u(x)
u=u(x+ x)-u(x)
y=y(x+Ax)-y(x)=[u(x+Ax)-u(x)]+[v(x+ x)-v(x)]= u+ v teoremaning shartiga ko’ra u(x), u(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lgani uchun
u’(x)+v’(x) u(x)+v(x)|'=u'(x)+v'(x)
Qolganlari ham shunga o’xshash isbot qilinadi.
Yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va bo‘linmani differensiallash
Funksiyaning hosilasi ta’rifidan foydalanib ikki funksiya yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va bo‘linmasini differensiallash qoidalarini keltirib chiqaramiz.
3-teorema. Agar va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyalarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va bo‘linmasi (bo‘linmasi shart bajarilganda) ham nuqtada differensiallanuvchi va quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi²:
1. ; 2. 3. .
Isboti. 1. Funksiyaning hosilasi va limitlar haqidagi teoremalardan foydalanib topamiz:


2. Formulani isbotlashda 2-teoremadan foydalanamiz: nuqtada differensiallanuvchi va funksiyalar shu nuqtada uzluksiz
bo‘ladi. Shu sababli da va .





3.

.