Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

Mavzu:
Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

REJA

• 
  Quyi va yuqori integral yig'indilar.
  
• 
  Aniq integral.
  
• 
  Aniq integralning asosiy xossalari.
  
• 
  Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi
  

1. 
   Quyi va yuqori integral yig'indilar.
   

Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi.
[a,b] kesmada uzluksiz y = f (x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz. [a, b] kesmani
a = x₀, Xi,x₂,...,x_n__x,x_n = b, bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda
x_n < x < x₉ <... < x ,
0 12 n’
va
x _ x_n =Ax,, x, _ x =Ax,,....,x _ x , =Ax
1 0 12 1 2^? ? n n_1 n
So’ngra, y = f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz
[ x₀, xj ] m va M,
[ xj, x₂ ] m va M₂,


^[X„_1^{, x}„^{] m}n ^{va M}n






о Jg-ал} q, я_л.,л_в=й л


п


Quyidagi yig’indilami tuzamiz:


n
s = m,Ax + mAx +... + m Ax ='У m Ax (1)
n 11 2 2 n n i i V /
i=1
n
s = M,Ax + M_nAx +... + M Ax =VMAx (2)
n 11 2 2 n n i i V /
i=1
s_n - yig’indi quyi integral yig’indi, s_n -yig’indi esa yuqori integral yig’indi deb ataymiz.
Agar f (x) > 0 bo’lsa, u holda quyi integral yig’indi sonma-son АСЩСЩ..C„-\N_nBA “ichki chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng, yuqori integral yig’indi sonma-son
AK₀C_lK_l...C_n__lK_n__lC_nBA
“tashqi chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng.
Quyi va yuqori integral yig’indilarning ba’zi xossalarini sanab o’tamiz:

1. 
   ^m <^Mi bo’lganligi uchun i(i = 1,2,...,n), (1) va (2) formulalar asosida topamiz
   

^sn < ^sn .
(agar f (x) = const bo’lsagina tenglik belgisi bo’ladi).
b)
m >m,m₂ > m,...,m_n >m,
bo’lganligi uchun, bu yerda m - f (x) funksiyaning [a,b] dagi eng kichik qiymati,
s_n = m Ax + m Ax₂ +... + m_n Ax_n > mAx + mAx₂ +... + mAx_n =
= m(Ax +Ax₂ +... + Ax_n) = m(b - a)

Shunday qilib,

s_n > m(b _ a)
v)


M ,m ,...,m


bu yerda M - f (x) funksiyaning [a, b] dagi eng katta qiymati,
s = MAx + MAx +... + M Ax < MAx + MAx +... + MAx =
n 11 2 2 n n 1 2 n
= M(Ax_x + Ax₂ +... + Ax_n) = M(b _ a)
Shunday qilib,
s_n < M(b _ a)
Olingan tengsizliklarni birlashtirib, topamiz m(b _ a) < s_n < s_n < M(b _ a)
Agar f (x) > 0 bo’lsa, u holda oxirgi tengsizlik sodda geometrik ma’noga ega, chunki m(b _ a) va M(b _ a) ko’paytmalar mos ravishda “ichki chizilgan” ALL₂B va “tashqi chizilgan” AL_XL₂B to’gri to’rtburchaklarning yuzalariga teng.

Ук

2. 
   Aniq integral
   

Bundan avvalgi paragrafdagi masalani o’rganishda davom etamiz. [ x₀, x ],[x_x, x₂ ],...,[ x_Ml, x ] kesmalardan har birida bittadan nuqta olib, ularni £ ,£ ,...,£ bilan belgilaymiz (209-rasm),
^x0 < £ < ^x1>^x1 < ^£2 < ^x2>^xn-1 <^£n < ^xn
Bu nuqtalarning har birida f (£), f (£),..., f (£_n) funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz. Endi
n
s, = f (£)Ax, + f(£₂)A*₂ +... + f(£ )Ax„ = 2f (£)Ax, (1)
i=1
yig’indini tuzamiz. Bu yig’indi f (x) funksiyaning [a,b] kesmadagi integral yig’indisi deyiladi. Ixtiyoriy £ nuqta [x. j,x.] kesmaga tegishli bo’lganda
^mi <^{f (£}<
va barcha Ax. > 0 bo’lganligi uchun
^mi ^Axi < ^f (^£) ^Axi < ^Mi ^Axi
demak,
n n n
2 m ^Ax_l < 2 ^f (^£) ^ < 2
i=1 i=1 i=1
yoki
n n ^sn ⁽²⁾
Oxirgi tengsizlikning ma’nosi shuki, f (x) > 0 bo’lganda yuzasi s_n ga teng bo’lgan yuzani chegaralovchi siniq chiziq “ichki chizilgan” va “tashqi chizilgan” siniq chiziqlar orasida joylashgan.




y=f(£)


33

s„ yig’indi [a,b] kesmani [x_t_±,x_t] kesmalrga bo’lish usuliga va shu kesmalar ichida nuqtalarning tanlanishiga bog’liq.

Endi max[^.__l5x_t] bilan [x₀,x₁ ],[xj,x₂],...,[x_M-1,x_n] kesmalar uzunliklaridan eng kattasini belgilaymiz. [a,b] kesma [x.^,x.] kesmalarga shunday bo’lamizki, max[j,x.] —— 0 bo’lsin. Albatta, bunda, kesmalar soni n cheksizlikka intiladi. Har bir bo’lish uchun tegishli ^ qiymatlarni tanlab
n
X/(i
i=1
integral yig’indini tuzish mumkin. Shunday qilib, bo’linishlar ketma-ketligi va unga mos integral yig’indilar ketma-ketligi haqida gapirish mumkin. Shunday bir ketma-ketlikni tanlasakki, maxAx. —> 0 bo’lsa, u holda yig’indi I limitga intilsin.
n
Agar [a, b ] kesmani max Ax. — 0 bo’ladigan qilib bo’lganda va nuqtalar ixtiyoriy tanlashganda f( ) Ax. yig’indi o’sha I limitga intilsa, u holda f (x)
i=l
b
- integral osti funksiya - [a,b] kesmada integrallanuvchi, I limit esa [a,b] kesmada aniqlangan f (x) funksiyaning aniq integrali deyiladi. Uni J f (x)dx deb
a
belgilaymiz va
n ^b
lim X f i iii = J f (x)dx
max Ax; — 0 •>
ⁱ=¹ a
a soni integralning quyi limiti, b - yuqori limiti deyiladi. [a,b] kesma integrallash kesmasi, x esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.
Agar y = f (x) funksiya [a, b ] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u kesmada integrallanuvchidir.
Albatta, agar Ax_; —> 0 bo’ladigan qandaydir bo’linishlar ketma-ketligida f (x) funksiya s_n va s_n integral yig’indilarni qarasak, u holda bu yig’indilar I limitga - f (x) funksiyadan olingan aniq integralga intiladi:
n ^b
lim 'X m.Ax. = Г f (x)dx
max Ax; — 0 * ^J
i=¹ a
n ^b
lim Ax_t = J f (x)dx
max Ax_t — 0 . J
ⁱ=¹ a




Uzulishli funksiyalar orasida integrallanadigan funksiyalar ham, integrallanmaydigan funksiyalar ham bor.
Agar y = f (x) integral osti funksiyaning grafigini qursak, u holda f (x) > 0 bo’lganda
b
J f ( x)dx
a
integral son jihatdan ko’rsatilgan egri chiziq x = a,x = b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng.
Shuning uchun, agar y = f (x) egri chiziq x = a, x = b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash kerak bo’lsa, u holda bu Q yuza
b
Q = J f (x)dx (3)
a
formula bilan hisoblanadi.
Izox 1. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, aniq integral faqat f (x) funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral o’zgaruvchisiga bog’liq emas. Shuning uchun aniq
integralning qiymatini o’zgartirmagan holda x harfining o’rniga ixtiyoriy boshqa xarfni olishimiz mukin:
b b b
J f (x)dx = J f (t )dt =... = J f (z)dz
a a a
Aniq integral tushunchasini kiritayotganda bu a < b deb faraz qildik. b < a bo’lgan holda ta’rifga ko’ra
b a
= _J f (x)dx
a b

кУ

Masalan.

О 5
J x² dx = -J x² dx


0


Endi a = b bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy f (x) funksiya uchun


a


| f (x)dx = 0 (5)


a


tenglik o’rinli.
Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega. demak. uning yuzasi nolga teng.

3. 
   Aniq integralning asosiy xossalari
   

1. 
   xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar A = const bo’lsa, u holda
   

b b
J Af (x)dx = aJ f (x)dx (1)
a a
Isboti.
^b n
J ^{Af (x)dx} = lim T ^{Af (£} ii =
•» max Ax ^ 0 "
a ⁱ⁼¹
n ^{b
= A lim} = =^{(£ )Ax}i J ^{f (x)dx}
max Ax^ 0 •»
i =1

2. 
   xossa. Bir necha funksiyalarning algebraic yig’indisidan olingan aniq integral qo’shiluvchilardan olingan integrallarning algebraic yig’indisiga teng. Ikki qo’shiluvchi bo’lgan holda
   

b b
lx =


J [ ^f1 ^(x) + ^f2 ^(x)] ^dx = J ^f1 ^(x)dx + J ^f2 ^{(x)dx (2)}


2
a a


Isboti.
b


= lim
max Ax^ 0


J[.«x) + f2(x)]dx = lim 2Ш£,) + _/2(£,)]Ax,
J *- ^J max Ax^- 0 ^“7
z=1
Ё/ )Ax, +1/2,22
i=1 i=1
= ^lim _п2/ ^(£)Axi + ^lim jbf22^)Axi =
max Ax^0 max Ax^0
i=1 i=1
b b
= J ^{f (x)dx} + J^f2 ^(x)dx


a


b


a




Qo’shiluvchi soni ixtiyoriy bo’lganda ham shunaqa isbotlanadi.
1- va 2- xossalar a < b hol uchun isbotlangan bo’lsada, ular a > b holda ham o’rinli.
Ammo quyidagi xossa faqat a < b holda o’rinli:
3-xossa. Agar [a, b] kesmada (a < b) f (x) va (p(x) funksiyalar f (x) <ф(x) shartni qanoatlantirsa. u holda
b b
| f (x)dx (3)
a a
Isboti. Quyidagi ayirmani qaraymiz:
b b b | (p(x)dx -1 f (x)dx = | [ф(x) - f (x)]dx =
a a a
n
= ^И_л^т oB^i) - Ж)]Ax
max Ax^-0
i =1







ъ ъ

Bu yerda har bir ayirma, p(i ) - f (i) > 0 . Ax_t > 0 . Demak, yig’indining har bir qo’shiluvchisi nomanfiy, butun yig’indi ham nomanfiy va uning limiti ham nomanfiy, ya’ni

b
f[p(x) — f (x)]dx > 0
a
yoki
ъ ъ
f p( x)dx — f f (x)dx > 0
a a
bu yerdan (3) tengsizlik kelib chiqadi.
Agar f(x) > 0 va p(x) > 0 bo’lsa, aytib o’tilgan xossa geometric ma’noga ega (213-rasm).
> f (x) bo’lganligi uchun aA_xB\b egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aA^^B^b egri chiziqli trapetsiya yuzasidan kata emas.
4-xossa. Agar m va M - f (x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng kichik va eng kata qiymatlari bo’lib, a < b bo’lsa, u holda
b
m(b — a) < f f (x)dx < M(b — a) (4)
a
Isbot. Shartga ko’ra m < f <<) <
(3) xossa asosida topamiz:
b b b
f ^mdx < f ^f (^x)^dx < f M dx (4 ’)
a a a

Ammo

b b J mdx = m(b — a) J M dx = M (b — a)
a a
Bu ifodalarni (4’) tengsizlikka qo’shib (4) tengsizlikni olamiz.
Agar f (x) > 0 bo’lsa, u holda bu xossa geometric talqinga ega (214-rasm): aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzi aABb va aABb to’g’ri to’rtburchaklarning yuzalari orasida joylashgan.
5-xossa. (o’rta qiymat haqida teorema). Agar f (x) funksiya [a, b ] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday % nuqta topiladiki,


b
J ^{f (x)dx} = ^(b - ^{a)f (}%^{) (5)}


tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Aniqlik uchun a < b bo’lsin. Agar m va M mos ravishda f (x) ning [a,b] kesmadagi eng kichik va eng kata qiymatlari bo’lsa, u holda (4) formulaga binoan


1 ^b