Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

m <- J f (x) dx < M


a

Bu yerdan

b
b _ a


^b
J f (x)dx = ju , bu yerda m < ju < M
— /у J


f (x) funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun, u m va M orasidagi hamma qiymatlarni qabul qiladi. Demak,
£ (a <<^< b) biror qiymatida jU = f (^f) bo’ladi, ya’ni
b
J ^{f (x)dx} = =^(£)(b - ^a)
a
6-xossa. Ixtiyoriy uchta a, b, c sonlar uchun
b c b
J f (x)dx = J f (x)dx + J f (x)dx (6)
a a c
Isbot. a < c < b deb faraz qilamiz va f (x) funksiya uchun [a,b] kesmada integral yig’indisini topamiz.
Integral yig’indining limiti [a,b] kesmani bo’laklarga bo’lish usuliga bog’liq emas, shuning uchun biz [a, b ]
b
kesmalarga shunday ajratamizki, c nuqta bo’linish nuqtasi bo’lsin. So’ngra 2 integral yig’indini ikkita
a
yig’indilarga ajratamiz:
c b
₂^c va ₂^b


ac

U holda

b c b
X. f (% )Ax =X f (S )Ax + X f (S )Ax,
a a c
Oxirgi tenglikda max Ax. — 0 bo’lganda limitga o’tib (6) munosabatni olamiz.
Agar a < b < c bo’lsa, isbotlanganlar asosida yozamiz:
c b c
J f (x)dx = J f (x)dx + J f (x)dx
a a b
yoki
b c c
J f (x)dx = J f (x)dx - J f (x)dx
a a b
Ammo 2-§dagi (4) formulaga asosan
c b
J f (x)dx = - J f (x)dx
b c
Shuning uchun
bcb
J f (x)dx = J f (x)dx + J f (x)dx
a a c
215-rasmda 6-xossaning f (x) > 0, a < c < b bo’lganda geometric talqini aks ettirilgan: aABb trapetsiyaning yuzi aACc va cCBb trapetsiyalar yuzalarining yig’indisiga teng.

4. 
   Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi
   

о
J f (x)dx


Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi.
Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:
x
J f (t )dt
a
Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz Ф(x) bilan belgilaymiz:


x
Ф (x) = J f (t )dt


Agar f (t) - nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda Ф^) miqdor son jihatdan aAXx egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (216-rasm). x o’zgarganda bu yuza o’zgarishi ochiq ravshan.


a


a









Ф( x) funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara bo’yicha hosila olamiz.
x
Teorema 1. Agar f (x) uzluksiz funksiya va Ф(x) = J f (t)dt bo’lsa, u holda
a
^{Ф ,(x)} = ^{f (x)}
tenglik o’rinli.
Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng.
Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy Ax orttirma beramiz; u holda topamiz (6-xossa):
x+Ax x x+Ax
+


Ф(x + Ax) = J f (t)dt = J f (t)dt + J f (t)dt


Ф( x) funksiyaning orttirmasi


x+Ax
ЛФ = Ф(x + Ax) _ Ф(x) = J f (t)dt + J f (t)dt _ J f (t)dt


ga teng, ya’ni


x +Ax


ЛФ= J f (t)dt


a


a


x


x


a


x


a


x

Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).

АФ = f (%)( x + Ax - x) = f (S)Ax
bu yerda % miqdor x va x + Ax orasida joylashgan.
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz:
ЛФ ₌ f (%)Ax Ax Ax


Demak,


Ammo % — x da Ax — 0 bo’lganligi uchun


f (x) uzliksiz bo’lganligi uchun


Shunday qilib, Ф'(x) = f (x). Teorema isbotlandi.


AФ
Ф'(x) = lim = lim f (S)
Ax—0 Ax Ax—0


Hm f^(S) = lim f^(S)
Ax—0 %—x


lim f (%) = f (x)

Teorema 2. Agar F(x) funksiya f (x) uzluksiz funksiyaning qandaydir boshlang’ichi bo’lsa, u holda

ъ
f f (x)dx = F (b) - F (a) (2)
a
formula o’rinli. Bu formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.
x
Isbot. F(x) funksiya f (x) funksiyaning biror boshlang’ichi bo’lsin. 1-teoremaga ko’ra, f f (t)dt funksiya ham f (x) funksiyaning
a
boshlang’ichi bo’ladi. Ammo berilgan funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ichlari bir biridan o’zgarmas С * qo’shiluvchiga farq qiladi.
x
f f (t )dt = F (x) + C* (3)
a
Endi С * o’zgarmasni toppish uchun bu tenglikda x = a deb olamiz, u holda
a
f f (t )dt = F (a) + С *
a
yoki
0 = F (a) + C*

Bu yerdan C* = _ F (a). Demak,

x


J f (t )dt = F (x) _ F (a)
a
Endi x = b deb olib, Nyuton-Leybnits formulasini olamiz:
о
J f (t )dt = F (b) _ F (a)
a
yoki integrallash o’rniga x ni qo’ysak
о
J f (x)dx = F (b) _ F (a)
a
F(b) _ F(a) ayirma F boshlang’ich funksiyaning tanlanishiga bog’liq emas.
Agar
F (b) _ F (a) = F (x)!^
belgilash kiritsak
о
J f (x)dx = F (x)ia = F (b) _ F (a)
a
Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir.