Aniq integral ta’rifi aniq integralning ta’riflari

Yechilishi.   kesmaning  bo’linishini olamiz. Natijada  kesma  bo’laklarga bo’linadi va  deb belgilaymiz.  bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:

ko’rinishda bo’ladi. Bundan
Demak, funksiya ixtiyoriy  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.


1.2 – misol. Ushbu

Dirixle funksiyasi  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi.  kesmaning  bo’linishini olib, quyidagi

ig’indilarni tuzamiz.  nuqta sifatida  kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani,  sifatida esa  , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,  bo’ladi. Shuning uchun,

Demak,  uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi  kesmada integrallanuvchi emas.

1.3 – misol. Ushbu

unksiyaning  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.

Yechilishi.   kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda  kesma  kesmalarga bo’linadi.  nuqta sifatida,  kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani,  sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,
yig’indilarni tuzamiz. Bunda  yig’indi  funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,
bo’ladi.  yig’indi esa,  funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,
bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funksiya  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.