Aniq integral ta’rifi aniq integralning ta’riflari

3.1– misol. Ushbu  integralni Nyuton – Leybnis formulasi orqali hisoblang.

Yechilishi. Ma’lumki, integral ostidagi  funksiyaning boshlang’ich funksiyasi,  dan iborat. Nyuton – Leybnis formulasiga asosan,

bo’ladi. Xususiy holda,  bo’lganda,

Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi integrallanuvchi funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish masalasiga keltirilar ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang’ich funksiyasini topish oson bo’lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni hisoblashda, boshqa usullardan ham foydalanishga to’g’ri keladi.
4. Aniq integral yordamida tekis shaklning yuzini hisoblash
4.1. Dekart koordinatalar sistemasida berilgan tekis shaklning yuzini hisoblash.
Tekislikda  Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.
4.1-ta’rif. Tekislikning  oddiy (karrali nuqtalarga ega bo’lmagan) yopiq egri chiziq bilan chegaralangan qismi- tekis shakl (figura) deyiladi. Bunda  - tekis shaklning chegarasi deyiladi.

O’qlarga nisbatan standart sohalar.

4.2-ta’rif. Koordinatalari,  kesmada uzluksiz  va  funksiyalar uchun,  munosabatlarni qanoatlantiradigan  nuqtalar to’plami  o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.
Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki,  coha chapdan va o’ngdan, mos ravishda,  to’g’ri chiziqlar kesmalari bilan ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) chegaralangan;  funksiyaning grafigi   coha ning yuqori chegarasidan,  funksiyaning grafigi esa, uning qo’yi chegarasidan iborat (4.1-chizma).
4.3-ta’rif. Koordinatalari,  kesmada uzluksiz  va  funksiyalar uchun,  munosabatlarni qanoatlantiradigan  nuqtalar to’plami  o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.
Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki,  coha yuqoridan va pastdan, mos ravishda,  to’g’ri chiziqlar kesmalari ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) bilan, chapdan va o’ngdan mos ravishda  va  funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangandir (4.2-chizma).
O’qlarga nisbatan standart sohalarning yuzalarini hisoblash formulalari:
1. o’qqa nisbatan standart   coha- ning  yuzi
formula bo’yicha hisoblanadi.
2. o’qqa nisbatan standart   coha- ning  yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.

Xususiy holda

3. funksiya  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,  da  bo’lsin.
Yuqoridan  funksiyaning grafigi, yon tomonlardan  va  to’g’ri chiziqlar, pastdan esa  o’q bilan chegaralangan shaklning (odatda bunday shakl, egri chiziqli trapesiya, deb yuritiladi) yuzi,

formula bo’yicha hisoblanadi (4.3 – chizma).

4. Agar  kesmada aniqlangan, uzluksiz  funksiya manfiy, ya’ni  bo’lsa, u holda, asosi  kesmadan iborat bo’lib, quyidan  funksiyaning grafigi bilan chegaralangan (4.4 - chizma) trapesiyaning yuzi manfiy bo’ladi.

5. Agar  kesma, chekli sondagi qism oraliqlarga bo’lingan bo’lib, ularning har birida funksiyaning qiymati manfiy emas  yoki musbat emas  bo’lsa, u holda, (4.1) integral, chekli sondagi,  o’qdan yuqorida va undan pastda joylashgan (yuzi manfiy), egri chiziqli sohalar yuzlarining yig’indisiga teng bo’ladi (4.5 - chizma), ya’ni
6.  funksiyalar  kesmada aniqlangan uzluksiz,  va  uchun, bo’lsin. U holda,  chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi,

formula orqali topiladi (4.6 - chizma)