Aniq integralning geometriyaga tatbiqlari Reja

9 –rasm.
3. Aylanish jismining hajmi

1.Aytaylik, [a;b] kesmada manfiy bo‘lmagan uzluksiz y=f(x) funksiya grafigi, x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya Ox o‘qi atrofida aylanishidan jism hosil bo‘lgan bo‘lsin. Shu aylanish jismining hajmini topaylik (10-rasm)

Agar x[a;b] nuqtadagi Ox o‘qiga perpendikulyar kesimni qarasak, y radiusi y=f(x) bo‘lgan doiradan iboratdir ya’ni uning yuzi uchun S(x)=y²=f²(x) ni olamiz. Buni (20) ga qo‘yib,
(21)
ga ega bo‘lamiz. Bu yuqorida aytilgan aylanish jismi hajmining formulasidir.
2.Xuddi shunga o‘xshash, x=(y) grafigi y=c, y=d, x=0 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya (c o‘qi atrofida aylantirilsa, aylanish jismining hajmi uchun
(22)
formulaga ega bo‘lamiz (11-rasm)

10 –rasm. 11 –rasm.

3. Aytaylik, y=f(x) funksiya grafigi, x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmi, tomonlari y va dx bo’lgan Oy o’qidan x masofadagi to’rtburchakning aylanishidan hosil bo’ladi va bu jisimini quyidagi formula bilan hisoblaymiz:

(23)
4. Aytaylik, yassi yuza y₁=f₁(x) va y₂=f₂(x)( f₁(x)≤f₂(x)) egri chiziqlar va x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan bu egri chiziqli trapetsiyani Ox va Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmini quyidagi formula bilan hisoblaymiz:
(24)
(25)
5. Aytaylik, yassi yuza r=F(φ) egri chiziqlar va φ=α, φ=β nurlar-qutub rasiuslari bilan chegaralangan bo’lsa uni qutub o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmini quyidagi formula bilan hisoblaymiz: