Aniq integralning tarifi. Geometrik ma'nosi va xosallari Reja

ANIQ INTEGRAL

1. Aniq integralning ta’riflari

funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin. kesmaning shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi nuqtalar sistemasiga kesmaning bo’linishi deyiladi va u kabi belgilanadi. nuqta bo’linishning bo’luvchi nuqtasi kesma esa, qism oralig’i deyiladi. Agar kesmaning ixtiyoriy bo’linishidagi qism oralig’ining uzunliklari bir xil bo’lsa, u holda, bunday bo’linish, kesmaning regulyar bo’linishi deyiladi. , bo’linishning diametri, deb ataladi. Har bir kesmadan nuqtani olamiz: .

1.1 – ta’rif. Ushbu

(1.1)
yig’indiga, funksiyaning, bo’linishga va nuqtani tanlashga mos kelgan, integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deb ataladi.

1.2– ta’rif. Agar olinganda ham, shunday mavjud bo’lib, diametri bo’lgan kesmaning har qanday bo’linishida, hamda nuqtani tanlashga bog’liq bo’lmagan holda,

(1.2)
tengsizlik bajarilsa, u holda, shu son, integral yig’indining limiti deyiladi va u kabi yoziladi.

1.3– ta’rif. Agar funksiya uchun, (1.1) integral yig’indining da limiti mavjud bo’lsa, u holda, funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Integral yig’indining limitiga funksiyadan kesma bo’yicha olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u
(1.3)
simvol orqali belgilanadi (1.3) da, - integral ostidagi funksiya, son- integralning quyi chegarasi, son esa,- integralning yuqori chegarasi, deb ataladi. Integral ostidagi o’zgaruvchini boshqa o’zgaruvchiga almashtirish ham mumkin, ya’ni

va h.k..

Ta’rif bo’yicha, ( deb olamiz).

1.1 – misol. funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.

Yechilishi.  kesmaning bo’linishini olamiz. Natijada kesma bo’laklarga bo’linadi va deb belgilaymiz. bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:
ko’rinishda bo’ladi. Bundan
Demak, funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.