1.2 – misol. Ushbu
Dirixle funksiyasi kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning bo’linishini olib, quyidagi
yig’indilarni tuzamiz. nuqta sifatida kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda, bo’ladi. Shuning uchun,
Demak, uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi kesmada integrallanuvchi emas.
1.3 – misol. Ushbu
funksiyaning kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda kesma kesmalarga bo’linadi. nuqta sifatida, kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,
yig’indilarni tuzamiz. Bunda yig’indi funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,
bo’ladi. yig’indi esa, funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,
bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.
2. Aniq integralning xossalari
1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar.
1-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u ixtiyoriy [a,b]Ì kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
2-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi va bo‘lsa, u holda
(2.1)
tenglik o‘rinli.
1-eslatma. Agar bo‘lib, funksiya kesmalarda integrallanuvchi bo‘lsa, u kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (2.1) tenglik o‘rinli.
2-eslatma. Agar bo‘lib, funksiya nuqtada aniqlangan bo‘lsa, u holda ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar bo‘lib, funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
deb qabul qilamiz.
3-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va
tenglik o‘rinli.
4-xossa. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda + funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va ushbu
tenglik o‘rinli.
Do'stlaringiz bilan baham: |
