Aniq integralning ta’riflari

1.2 – misol. Ushbu

Dirixle funksiyasi kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.

Yechilishi. kesmaning bo’linishini olib, quyidagi



yig’indilarni tuzamiz. nuqta sifatida kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda, bo’ladi. Shuning uchun,

Demak, uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi kesmada integrallanuvchi emas.

1.3 – misol. Ushbu

funksiyaning kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.

Yechilishi. kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda kesma kesmalarga bo’linadi. nuqta sifatida, kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,

yig’indilarni tuzamiz. Bunda yig’indi funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,

bo’ladi. yig’indi esa, funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,

bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.

Demak, berilgan funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.