Aniqmas integrallarni hisoblash

Kurs ishining obyekti. Oliy ta’lim muassasalarida Matematik analiz fanini oʻqitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Aniqmas integrallar mavzusiga doir nazariy va amaliy bilimlarni oʻrgatish usullari va vositalari.
Kurs ishining maqsadi. Aniqmas integrallar mavzusi yuzasidan masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish.
Kurs ishining vazifalari. Oliy ta’lim muassasalarida uchun DTS, taqvim rejasi, mavzuga oid mavjud adabiyotlar, internet ma’lumotlarini toʻplash va tahlil qilish; “Aniqmas integrallar mavzusida masalalar ishlash muammolarini, fanda tutgan oʻrni va ahamiyatini oʻrganib chiqish”
Oliy ta’lim muassasalarida Aniqmas integrallar mavzusining asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion texnologiyalardan foydalangan holda mavzuni oʻqitish metodikasini ishlab chiqish.
Kurs ishi yuzasidan tajriba oʻtkazish, uning natijalarini tahlil qilish va tegishli xulosalar chiqarish.
Masalaning qo`yilishi.

Agar f(x) funksiya [х₀, x] oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda boshlang`ich funksiyani quyidagicha tasvirlash mumkin:

(1.1)
Demak boshlang`ich funksiyani topish integralning qiymatlarini topish bilan teng kuchlidir. Volterra integral tenglamasi

da ushbu
(1.2)
integral bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. Biz faqat boshlang`ich funksiyani hisoblash bilan shug`ullanamiz. Integralning yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgani va y(x) ning ko`p nuqtalardagi qiymatlarini topishga ehtiyoj tug`ilishi tufayli aniqmas integrallarni hisoblash masalasi o`ziga xos bo`lib, ular uchun maxsus usullar yaratishga to`g`ri keladi.
Faraz qilaylik, (1.1) integralning qiymatini argumentning х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... qiymatlari uchun hisoblash talab qilinsin. Aytaylik, х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... topilgan bo`lib, у_п+1 ni topish kerak bo`lsin. Buning uchun у(х) ning avval topilgan mavjud qiymatlaridan foydalanish mumkin. Biz avval f(x) formula yordamida (ya`ni uning istalgan qiymatini topish mumkin bo`lgan) aniqlangan holni qaraymiz. Paragraf oxirida esa f(x) jadval bilan berilgan holni ko`rib o`tamiz. Ko`pincha f(x) ning qiymatini kerakli x nuqtalarda hisoblab, у_п+1 ni istalgan aniqlikda topish mumkin bo`ladi. Bu yerda y(x) ning ko`p qiymatlarini topish lozim bo`lgani uchun f ning har bir qiymatidan y(x) ning bir necha qiymatlarini topishda foydalanish mumkin. Buni quyidagi misolda ko`rish mumkin: у_п+1 ni hisoblashda
(1.3)
tenglikdan foydalanish mumkin. O`ng tomondagi integralni hisoblashdan aniq integral uchun qurilgan formulalarning birortasidan foydalanish mumkin. Lekin bu usul quyidagi ko`rinib turgan nuqsonga ega: f ning qiymatlari, agar ular [х_п, х_n+1]
ning chetki nuqtalariga mos kelmasa, faqat y_n+1 ni hisoblashda foydalanib, avvalgi у_п, у_п1, ... va keyingi у_п+2, y_n+v ... larni hisoblashda qatnashmaydi.
Kelgusida f ning qiymatlarini hisoblashning bir necha qadamlarida ishlatishga imkon beradigan usullar haqida so`z yuritiladi.
Aniqmas integralni topishda foydalaniladigan integrallash qoidasi muvaffakiyatsiz tanlangan bo`lsa, hisoblash xatolari yig`ilib bir necha qadamdan keyin keraklisidan katta bo`lib ketishi mumkin. Xuddi shu holni misolda ko`raylik. Faraz qilaylik, у<sub>п+1</sub> ni hisoblash uchun oldingi у<sub>п-х</sub> va у<sub>п</sub> qiymatlar hamda hosilaning ikkita у`_n-1 = f_n-1 va у`<sub>п</sub> = f qiymatlari asosida interpolyatsiyadan foydalanaylik. Bu yerda ikkita ikki karrali tugunlarga ega bo`lganimiz uchun Ermit formulasidan foydalanishimiz mumkin va qoldiq hadni tashlab quyidagi integrallash qoidasiga ega bo`lamiz:
(1.4)
Bu tenglik barcha uchinchi tartibli ko`p hadlar uchun aniqdir. Bu formula bir marta qo`llashda yaxshi natija beradi, lekin ko`p marta qo`llash uchun esa xato tez ortib borishi sababli yaroqsizdir.
Faraz qilaylik, f ning barcha qiymatlari va у<sub>n-1</sub> aniq hisoblangan bo`lib, у_п ni hisoblashda xatoga (masalan, yaxlitlash hisobidan) yo`l qo`yilgan bo`lsin. Birinchi bobda hisoblash jarayoni uchun ko`rganimizdek bu xato у_п+1, у_п+2, у_п+3, ... larni topishda ularga mos ravishda, kabi o`sa borib noturg`unlik yuz beradi. Keyingi punktda y_n+k ni topishda bu xato qonuniyat bilan o`sishini ko`ramiz. Bundan (12.4) formulaning hisoblash uchun yaroqsizligi ma`lum bo`ladi. Uning o`rniga, (12.3) integralni trapetsiya formulasi bilan hisoblasak formulaga ega bo`lamiz. Bu formulaning algebraik aniqlik darajasi birga teng bo`lsa ham, ko`p martalab qo`llash uchun qulaydir, chunki xato jamlanmaydi. Ko`p martalab qo`llaniladigan qoidalarning turgunliklariga katta e`tibor berish lozim. Bu masalalarni keyingi punktda ko`rib o`tamiz.