Aniqmas integrallarni hisoblash

5-teorema. Agar bo`lsa, u holda (1.5) formula dastlabki xatolarga nisbatan turg`un bo`ladi.
Isbot. (1.5) formulaga mos keluvchi bir jinsli tenglamani
qaraymiz. Bu yerdan

Bu bahoni bir necha marta qo`llash bilan barcha n lar uchun tengsizlikning o`rinli ekanligini ko`ramiz. Boshqacha aytganda, bir jinsli tenglama yechimining barcha qiymatlari у<sub>0</sub>, y<sub>v</sub> ..., у<sub>r</sub> dastlabki qiymatlarning moduli bo` yicha eng kattasidan ortmaydi. Bundan ko`rinadiki, dastlabki qiymatlarning barcha ta`sir funksiyalari modullari bo`yicha birdan ortmaydi:

Bundan esa, yuqorida ko`rganimizdek

tenglamaning ildizlari orasida modullari bo`yicha birdan kattasi mavjud emasligi va modullari bo`yicha birga tenglarining tub ekanliklari kelib chiqadi. Bu yerdan esa teorema tasdig`i 1-teoremadan kelib chiqadi.
Endi (1.4) formulani tekshiramiz. Unga mos keluvchi у<sub>п+1</sub> = -4у<sub>n</sub> + 5у<sub>n-1</sub> bir jinsli tenglamani olaylik. Buning xarakteristik tenglamasi <sup>2</sup> + 4 - 5 = 0 bo`lib, ildizlari ₁= -5, ₂ = 1. Demak,
Е_n+1 =-4Е_n+5Е_n-1
tenglamaning Е₀ = ₀ va Е₁ = ₁ dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi

bo`ladi. Agar bo`lsa, u holda n ning o`sishi bilan Е<sub>n</sub> juda tez o`sadi. Bundan esa 2-teoremaga ko`ra (1.4) formulaning dastlabki xatoga nisbatan turg`un emasligi kelib chiqadi. Bu formulaning yaxlitlash xatosiga nisbatan ham turg`un bo`lmasligiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Aksincha,

formula 5-teoremaga ko`ra dastlabki xatoga nisbatan turg`un hisoblash jarayonini beradi.