Asosiy formullalar

3-mavzu: So’nuvchi mexanik va elektromagnit tebranishlar
(2 soat)
ASOSIY FORMULLALAR
Soʻnuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi
yoki (1)
(2)
bu erda r- qarshikil koeffisienti; δ- soʻnish koeffisenti; ; - tebranishninig xususiy burchak chastotasi ( ).
Soʻnuvchi tebranishlarning tenglamasi
(3)
bu erda – soʻnuvch tebranishlarning t paytdagi amplitudasi; 𝜔–ularning burchak chastotasi.
Soʻnuvchi tebranishlarning burchak chastotasi
(4)
Soʻnuvchi tebranishlar amplitudasining vaqtga bogʻliqligi
, (5)
bu erda - vaqtning t=0 ondagi tebranish amplitudasi.
Tebranishlarning logarifmik dekrementi
(6)
bu erda va vaqt boʻyicha bir-biridan bir davrga farq qilqadigan ikki ketma-ket tebranishlarning amplitudalari.
MASALALAR YECHISH NAMUNALARI
1-masala. Uzunligi ℓ =0,5 m, ogʻirligi eʼtiborga olinmaydigan ipga osilgan kichik sharcha t=8 min. davomida 99% energiyasini yoʻqotadi. Tebranishning logarifmik dekrementi topilsin.
Yechilishi. Tebranayotgan jismning toʻliq energiyasi amplituda kvadratiga proporsional. Soʻnuvchi tebranish amplitudasi:
. (1)
Boshlangʻich va oxirgi energiya qiymatlarini bilgan holda, soʻnish koeffitsiyentini aniqlash mumkin. Tebranishning logarifmik dekrementini aniqlash uchun, matematik mayatnikning tebranish davrini bilish kerak (1) formuladan foydalanib
, , (2)
bu yerda:  - tebranish vaqti, E₁ va E₂ mayatnikning boshlangʻich va oxirgi energiya qiymatlari.
Masala shartidan Е₂/Е₁=0,01, buni (2) formulaga qoʻysak,
е^-2=0,01 ni hosil qilamiz. Bundan-2=ln 0,01; -2=-4,6; =4,810^-3 s^-1.
Matematik mayatnik formulasidan davr topiladi:
.
Logarifmik dekrement
=Т, =4,810^-31,4=6,710^-3 .
2-masala. Tebranish konturi C=5 µF sigʻimli kondensator va L=0,2 H induktivlikli gʻaltakdan iborat. Agar kondensator qoplamalari orasidagi potensiallar farqini eng katta qiymati 90 V boʻlsa, konturdagi tokning maksimal qiymati topilsin. Kontur qarshiligi hisobga olinmasin.
Yechilishi. Konturdagi qarshilik hisobga olinmaydigan darajada kichik boʻlsa, tebranish soʻnmaydigan tebranish boʻladi va kondensator qoplamalarida zaryadni vaqt boʻyicha oʻzgarishi quyidagi formula orqali yoziladi:
Q=Q_оsin(_оt+_о) . (1)
bu yerda Q₀– zaryad oʻzgarishining amplitudasi, _о–boshlangʻich faza, _о– erkin soʻnmaydigan tebranishlarni siklik chastotasi ₀
. (2)
Tok kuchi zaryaddan vaqt boʻyicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng. Shu sababli (1) tenglamani ikki tomonini vaqt boʻyicha diferensiallasak, konturdagi tok kuchi ifodasini hosil qilamiz.
,
I_о=Q_о_о kattalik konturdagi tokning amplitudasi yoki tokning maksimal qiymati deyiladi. _о ning qiymatini (2) formuladan olib, va Q_о=CU_о ekanligini bilgan holda, izlanayotgan kattalik topiladi.
.
Masalani boshqa yoʻl bilan ham yechish mumkin. Konturning toʻliq energiyasi doimiy qoladi. Bu energiya kondensator elektr maydon energiyasi va gʻaltakdagi magnit maydon energiya larining yigʻindisiga teng boʻladi. Kondensator toʻliq zaryadlanganda (U=U₀) tok kuchi I=0 boʻladi. Konturdagi toʻliq energiya
(3)
Kondensator toʻliq razryadlanganda (U =0), tok kuchi oʻzining maksimal qiymatiga I₀ erishadi. Konturning toʻliq energiyasi
(4)
(3) va (4) formuladan .
3-masala. Tebranish konturi induktivligi L=5 mH ga teng gʻaltakdan va sigʻmi С=0,2 µF boʻlgan kondensatordan iborat. Uchta toʻliq tebranishda tebranish energiyasi 10 marta kamayishi uchun logarifmik dekrement qanday boʻlishi kerak?
Yechilishi. Elektromagnit tebranishlar yuz berayotgan konturning toʻliq energiyasi amplituda kvadratiga toʻgʻri proporsional, misol uchun kondensator qoplamlaridagi kuchlanish kvadratiga toʻgʻri proportsional. Aktiv qarshilik hisobiga tebranishlar soʻnuvchi boʻladi va kuchlanish amplitudasi. (Tok kuchi va boshqa kattaliklar ham). Vaqt oʻtishi bilan asta sekin kamayib boradi.
U=U_оme^-tsin(t+), (1)
bu yerda U_оm - kuchlanish amplitudasining t=0dagi qiymati.
Tebranish amplitudasi
U_m=U_оmе^-t (2)
Taʼrifga binoan logarifmik dekrement
. (3)
(3) tenglamadan ni topib (2) tenglamaga qoʻyamiz va
(4)
tenglamaga kelamiz. Masala shartiga koʻra =nТ vaqtda energiya 10 marta kamayishi yoki amplituda marta kamayishi kerak. Demak:

U holda, yoki .
4-masala. Elektr sig’imi 2 mF bo’lgan kondensator, induktivligi 20 mH bo’lgan g’altak va elektr qarshiligi 10 Om bo’lgan rezistor ketma-ket o’zgaruvchan kuchlanish generatorining chiqishiga ulangan. Kondensatordagi kuchlanish tebranishlari amplitudasi chastotaning qaysi qiymatda maksimal qiymatga erishadi? Generatorning chiqishidagi kuchlanish tebranishlari amplitudasi 10 V ga teng bo’lganda kondensatordagi kuchlanish qiymati qanday boladi?
Yechilishi. Kondensatordagi kuchlanishning tebranish amplitudasi zanjirdagi tok kuchining maksimal qiymatida maksimal qiymatga ega bo’ladi:
.
Elektr rezonans bo’lgan holatda tok kuchi maksimal qiymatga erishadi:
, ,
=500 .
Ketma-ket ulangan zanjirdagi rezonansdagi U to’liq kuchlanish aktiv qarshilikdagi kuchlanishga teng, zanjirdagi tok kuchi tebranishlarining maksimal amplitudasi esa quyidagicha:
= .
Kondensatordagi kuchlanishning maksimal qiymati quyidagiga teng:
, =100 V.