Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

3.2. Gilbertning ilmiy faoliyat.

Gilbertning tadqiqotlari matematikaning ko'plab sohalarining rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi va uning Göttingen universitetidagi faoliyati XX asrning birinchi choragida Göttingenning matematik fikrlashning asosiy jahon markazlaridan biri bo'lishiga katta hissa qo'shdi. Ko'plab yirik matematiklarning dissertatsiyalari (ular orasida G. Veyl, R. Kurant) uning ilmiy rahbarligida yozilgan.

Gilbertning ilmiy tarjimai holi matematikaning biron bir sohasida ishlashga bag'ishlangan davrlarga aniq bo'linadi:

• Invariantlar nazariyasi (1885-1893).

  
  

• Algebraik sonlar nazariyasi (1893-1898).

  
  

• Geometriya asoslari (1898-1902).

  
  

• Dirichlet printsipi (matematik fizika) va unga qo'shni variatsion hisoblash va differentsial tenglamalar muammolari (1900-1906).

  
  

• Integral tenglamalar nazariyasi (1902-1912).

  
  

• Sonlar nazariyasida Varing muammosini hal qilish (1908-1909).

  
  

• Matematik fizika (1910-1922).

  
  

• Matematikaning asoslari (1922-1939).

  
  

Matematika.
“Invariantlar nazariyasi”da Gilbertning tadqiqotlari XIX asrning ikkinchi yarmida matematikaning ushbu sohasi jadal rivojlanish davrining oxiri bo'ldi. U invariantlar tizimining cheklangan asoslari mavjudligi haqidagi asosiy teoremani isbotladi.
Gilbertning algebraik sonlar nazariyasi bo'yicha ishlari matematikaning ushbu sohasini o'zgartirib, uning keyingi rivojlanishining boshlang'ich nuqtasiga aylandi. O'zining klassik sharhida u ushbu materialni chuqur va mazmunli taqdim etdi. Nemis matematiklari — Dirichlet, Kummer, Kroneker, Dedekind, keyin Nether va Minkovskiyning sa'y — harakatlari bilan ideal va oddiy ideal tushunchalariga asoslangan raqamli maydonlar uchun bo'linishning to'liq nazariyasi yaratildi. Biroq, savol bilan nima sodir bo'layotgani ochiq qoldimaydonning oddiy ideali sifatida, uni "ustun maydon" ga kiritishda va bu qiyin muammo tufayli Gilbert bir qator muhim yangi tushunchalarni kiritdi, bu bilan bog'liq asosiy natijalarni shakllantirdi va qisman isbotladi. Ularning to'liq isboti va keyingi rivojlanishi uning eng taniqli izdoshlarining ishi bo'ldi.
Algebraik maydonlar nazariyasining rivojlanishida Gilbertning "algebraik sonlar maydonlari nazariyasi" monografiyasi muhim rol o'ynadi, bu o'nlab yillar davomida ushbu mavzu bo'yicha keyingi tadqiqotlarning asosi bo'ldi. Gilbertning o'z kashfiyotlari orasida Galua nazariyasining rivojlanishi, shu jumladan muhim "90-teorema"ajralib turadi.
Gilbertning Dirichlet muammosini hal qilishi variatsiya hisobida to'g'ridan-to'g'ri usullarni ishlab chiqishga asos bo'ldi.
Gilbert tomonidan simmetrik yadroli integral tenglamalar nazariyasi zamonaviy funksional tahlil va ayniqsa chiziqli operatorlarning spektral nazariyasining asoslaridan birini tashkil etdi.
Gilbert darhol o'zini Kantor to'plamlari va uni ko'plab raqiblarning tanqidlaridan himoya qildi. U: "hech kim bizni Kantor yaratgan jannatdan quvib chiqarmaydi", dedi. Biroq, Gilbertning o'zi bu sohani ishlab chiqmagan, garchi u funktsional tahlil bo'yicha asarlarida bilvosita ta'sir ko'rsatgan bo'lsa ham.
Gilbertning "Geometriya asoslari" (1899) geometriyaning aksiomatik qurilishi bo'yicha keyingi ishlar uchun namuna bo'ldi. Garchi bir matematik tuzilmaning modelini boshqasiga asoslangan holda qurish g'oyasi Gilbertdan oldin ham ishlatilgan bo'lsa-da (masalan, V. R. Hamilton), faqat Gilbert uni to'liq to'liqlik bilan amalga oshirdi. U nafaqat geometriyaning to'liq aksiomatikasini berdi, balki ushbu aksiomatikani batafsil tahlil qildi va (bir qator aqlli modellar orqali) har bir aksiomasining mustaqilligini isbotladi. Gilbert ham yaratganmetamatematika va ideal aksiomatik nazariyaga qo'yiladigan talablarni aniq belgilab berdi: aksiomalarning izchilligi, to'liqligi, mustaqilligi. Gilbertning rasmiyatchiligi bir qator yirik matematiklarning, shu jumladan, intuitivistik pozitsiyalarga ega bo'lgan va aksiomalar intuitiv haqiqat bo'lishi kerak va boshqa har qanday yondashuv "QUACK"deb hisoblagan Frege va Puankarening dushmanona tanqidiga sabab bo'ldi.
1922 yilga kelib, Gilbert butun matematikani (yoki hech bo'lmaganda muhim, umumiy qabul qilingan qismni) to'liq rasmiylashtirish orqali asoslash uchun ancha kengroq rejani ishlab chiqdi va keyinchalik rasmiylashtirilgan matematikaning izchilligini "metamatematik" isbotladi. Ushbu dasturni amalga oshirish uchun Gilbert Frege ishini davom ettirib, dalillarning qat'iy mantiqiy nazariyasini ishlab chiqdi, uning yordamida matematikaning izchilligi arifmetikaning izchilligini isbotlashga olib keladi. Shu bilan birga, Gilbert faqat umume'tirof etilgan mantiqiy vositalardan foydalangan (birinchi darajali mantiq). Uning dasturi imkonsiz bo'lib chiqdi, keyinchalik K. Gödel (1931, qarang Gödelning to'liqsizlik teoremasi), ammo matematik mantiqning rivojlanishiga katta turtki bo'ldi.
Gilbert tomonidan P. Bernays bilan birgalikda yozilgan "matematika asoslari" ning ikki jildi 1934 va 1939 yillarda nashr etilgan. Gilbertning bu sohadagi dastlabki umidlari amalga oshmadi: rasmiylashtirilgan matematik nazariyalarning izchilligi muammosi Gilbert dastlab taxmin qilganidan chuqurroq va qiyinroq bo'lib chiqdi va haqiqat tushunchasini mantiqiy xulosaga keltira olmadi. Yuqorida aytib o'tilgan Gödel teoremalaridan tashqari, Gödel va Tarskiy (1931-1933) ning rasmiy nazariya uchun oddiy xulosalikdan farq qiladigan haqiqat tushunchasini aniqlashning mumkin emasligi haqidagi natijalari Gilbert dasturiga halokatli zarbalar bo'ldi, shuningdek Levengeym — Skulem teoremasi, unga ko'ra birinchi darajali cheklangan nazariyalar ularning modellarining kardinal sonini boshqarish uchun juda zaifdir (ikkinchi darajali mantiqda vaziyat boshqacha). Xuddi shu davrda muhokama qilingan cherkov — turing tezisi algoritmik hisoblash masalasida birinchi darajali mantiqni cheklab qo'ydi.
Ammo matematikaning mantiqiy asoslari bo'yicha olib borilgan barcha ishlar asosan Gilbert tomonidan belgilangan yo'ldan boradi va u yaratgan tushunchalardan foydalanadi.
Mantiqiy nuqtai nazardan matematikani to'liq rasmiylashtirishni zarur deb hisoblagan Gilbert bir vaqtning o'zida ijodiy matematik sezgi kuchiga ishongan. U matematik nazariyalarni juda vizual tarzda taqdim etishda katta usta edi. Shu nuqtai nazardan, Gilbert tomonidan S. kon-Fossen bilan birgalikda yozilgan "vizual geometriya" diqqatga sazovordir. Shu bilan birga, Gilbert intuitionistlarning matematik ijodga cheklovlar kiritishga urinishlariga (masalan, to'plamlar nazariyasini, tanlov aksiomasini yoki hatto chiqarib tashlangan uchinchi qonunni taqiqlashga) qat'iy qarshi edi. Ushbu pozitsiya ilmiy muhitda munozarani keltirib chiqardi, unda Gilbertning dalillar nazariyasi (ayniqsa Gödelning yuqorida aytib o'tilgan asarlaridan keyin) ba'zi matematiklar mazmunsizlikda ayblanib, formulalar bilan bo'sh o'yin deb nomlanishdi.
Gilbert ijodi uchun inson ongining cheksiz kuchiga ishonch, matematika fanining birligiga va matematika va tabiatshunoslikning birligiga ishonish xosdir. Gilbertning uning nazorati ostida nashr etilgan asarlari to'plami (1932-1935) "tabiatni bilish" maqolasi bilan tugaydi, ushbu maqola esa "biz bilishimiz kerak — biz bilib olamiz" shiori bilan yakunlanadi (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.). Bu E. Dubois-Reymonning "biz bilmaymiz — biz bilmaymiz" ("Ignoramus — ignorabimus") degan falsafiy pozitsiyalariga qarshi.
Gilbert qat'iy aksiomatik yondashuv tarafdori bo'lgan va matematikaning aksiomatizatsiyasidan so'ng ushbu protsedurani fizika bilan bajarish kerak deb hisoblagan. Gilbertning fizikaga qo'shgan eng mashhur hissasi 1915 yil noyabr oyida Eynshteyn bilan deyarli bir vaqtda o'tkazgan umumiy nisbiylik nazariyasining (oto) asosiy tenglamalari bo'lgan maydon tenglamalarini chiqarishdir (bu haqda qarang: Gilbert va gravitatsion maydon tenglamalari). Bundan tashqari, Gilbertning Eynshteynga ushbu tenglamalarni chiqarish bo'yicha parallel ishlari davomida inkor etib bo'lmaydigan darajada muhim ta'siri — ikkalasi ham shu davrda o'zaro foydali yozishmalarda bo'lib, gr yaratilishining muvaffaqiyatli yakunlanishini sezilarli darajada tezlashtirdi. Gilbert ushbu tenglamalarni chiqarishda birinchi bo'lib variatsiya usulidan foydalangan, keyinchalik u nazariy fizikada asosiy usullardan biriga aylangan. Shubhasiz, bu fizika tarixida ilgari noma'lum bo'lgan fundamental nazariya tenglamalari shu tarzda olingan birinchi holat edi (hech bo'lmaganda tasdiqlangan nazariyalar haqida gapiradigan bo'lsak). Gilbertning gr sohasida boshqa ishlari deyarli yo'q edi-u boshidanoq grni Gustav Mi g'oyalari asosida "materiyaning universal nazariyasi" ni yaratish yo'lidagi qadam sifatida ko'rib chiqdi va bu yo'nalishda ishlashga harakat qildi, ammo katta muvaffaqiyatga erishmadi va tez orada bu mavzuni tark etdi.
Quyidagi holat ham qiziqish uyg'otadi: 1926 yilda matritsa kvant mexanikasi Maks Born va Verner Geyzenberg Gilbertdan shunga o'xshash rasmiyatchilikni qo'llaydigan matematika sohasi bor-yo'qligini tekshirishga qaror qilishdi. Gilbert ularga ikkinchi darajali qisman hosilalardagi differensial tenglamalar yechimlari mavjudligi masalalarini ko'rib chiqayotganda o'xshash matritsalar bilan uchrashganini aytdi. Fiziklarga matematik ularni tushunmagandek tuyuldi va ular bu masalani boshqa o'rganmaslikka qaror qilishdi. Olti oydan kamroq vaqt ichidaErvin Shredinger to'lqin kvant mexanikasini yaratdi, uning asosiy tenglamasi — Shredinger tenglamasi — qisman ikkinchi darajali tenglama bo'lib, ikkala yondashuvning ekvivalentligini isbotladi: eski matritsa va yangi to'lqin.
O'zlarini uning shogirdlari deb hisoblagan olimlar doirasi ancha katta, masalan, Emmi Neter va Alonzo cherkovi. Umuman olganda, Gilbert doktorlik dissertatsiyasini himoya qilgan 69 nafar aspirantning ilmiy rahbari bo'lgan. Uning matematikadan voz kechgan va shoir sifatida "qayta malakaga ega bo'lgan" aspirantlardan biri haqidagi sharhi qiziq: "bu yaxshi, u matematik uchun juda kam tasavvurga ega edi".