Қавариқ программалаштириш

Frank-Vulf usuli va uning tadbiqlari
(1)
botiq funksiyaning eng katta qiymatini topish talab etilsin va quyidagi shartlar bajarilsin


(2)


(3)
Masalaning yechish jarayoni (1) – (3) masalaning mumkin bo‘lgan yechimlar sohasida yotuvchi nuqtani aniqlaymiz. Bu nuqta bo‘lsin.
U holda bu nuqtada (1) funksiyaning gradientini topamiz, ya’ni

va chiziqli funksiyani uzamiz

(4)
tuzilgan funksiyaning (2) – (3) shartlarni qanoatlantiruvchi eng katta qiymatini topamiz. Bu masalaning yechimi nuqta aniqlangan bo‘lsin.
U holda keyingi (yangi) berilgan masalaning yechimi uchun ni qabul qilamiz, ya’ni
(5)
bunda oraliqdagi qandaydir son bo‘lib, hisoblash qadamini bildiradi. soni oraliqdan ixtiyoriy olinadi yoki tenglamani yechish orqali topiladi. Agar yechimda bo‘lsa, deb qabul qilinadi. ning qiymati topilgandan so‘ng nuqtaning koordinatalari topiladi, maqsad funksiyaning qiymati topiladi va yangi (keyingi) nuqtaga o‘tish yoki o‘tmaslikning zaruriyati aniqlanadi. Agar yangi nuqtaga o‘tish zaruriyati tug‘ilsa, nuqtada maqsad funksiyaning gradienti hisoblanib, unga mos chiziqli programmalashtirish masalasiga o‘tib yechim topiladi. nuqtaning koordinatalari topilgandan so‘ng, keyingi hisoblash jarayoni amalga oshiriladi. Oxirgi qadamda zarur bo‘lgan aniqlikdagi berilgan masalaning yechimiga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib (1) – (3) masalaning Frank – Vulf usuli bilan yechish jarayoni quyidagi bosqich ishlarini bajarish orqali amalga oshiriladi.

1. 
   Masalaning mumkin bo‘lgan dastlabki yechimi topiladi.
   
2. 
   (1) funksiyaning gradienti topilib, bu nuktada mumkin bo‘lgan yechim aniqlanadi.
   
3. 
   (2) – (3) shartni qanoatlantiruvchi (4) funksiya tuzilib, uning qiymati topiladi.
   
4. 
   Hisoblash qadami aniqlanadi.
   
5. 
   (5) formula bo‘yicha yangi (keyingi qadamdagi) mumkin bo‘lgan yechimning komponentalari topiladi.
   
6. 
   Keyingi qadamdagi yechimga o‘tish yoki o‘tmaslik zaruriyati tekshiriladi. Agar zaruriyat bo‘lsa, keyingi bosqichga o‘tiladi, aks holda topilgan yechim optimal yechim bo‘ladi.
   

Misol Frank – Vulf usuli bilan
(6)
funksiyaning eng katta qiymatini toping va bunda ushbu shartlar bajarilsin
(7)


(8)

Yechish : Funksiyaning gradientini topamiz.

Mumkin bo‘lgan yechim sifatida nuqtani olamiz. Baholash kriteriyasi sifatida, optimal yechim uchun , bunda tengsizlikni qabul qilamiz.
1 – qadam. nuqtada gradient ga teng.
(9)
funksiyaning maksimumini topamiz va bunda quyidagi shartlar bajarilsin.
(10)
(11)
(9) – (11) masalaning optimal yechimi ga teng. Berilgan masalaning yangi: mumkin bo‘lgan yechimini (5) formula orqali topamiz.
bunda (12)
va larni (12) ga qo‘ysak


(13)
ni hosil qilamiz. - ni qiymatini topamiz.
(6) dagi x₁ va x₂ lar o‘rniga (13) munosabatning mos qiymatlarini quyib

ni hosil qilamiz. Bundan bo‘yicha hosila olib, uni nolga tenglashtirib,

bundan ni aniqlaymiz. ning qiymati oraliqda bo‘lganligi uchun keyingi qadamga o‘tish miqdorini bildiradi.
Shunday qilib,

2 – qadam.
nuqtadagi funksiyaning gradienti

Funksiyaning maksimumini topamiz, ya’ni

va ushbu shart


o‘rinli bo‘lsin. Yechim iborat bo‘ladi. Endi aniqlaymiz va
(14)

ni hosil qilamiz.

(6) dagi x₁ va x₂ lar o‘rniga (14) ning mos qiymatlarini qo‘ysak



ega bo‘lamiz. Bundan bo‘lib, uni nolga tenglashtirsak , bundan
shunday qilib,


3 – qadam.
f funksiyaning gradientini X⁽²⁾ nuqtada funksiyaning maksimumini topamiz va bunda (10), (11) shartlar bajarilsin.


ni topamiz va quyidagilarga ega bo‘lamiz



tenglamani yechib, ni topamiz.
Bulardan
ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, berilgan masalaning
izlangan yechimini bildiradi.

Adabiyotlar:

1. T.X.Xolmatov, X.S. Umarov Kurilishni boshkarishda iktisodiy-matematik usullar. O‘quv qo‘llanma, Samarqand 2004 y.196 bet.
2. M.Atxamov, G.Otaboev Planlashtirishda matematik metodlarni qo‘llanilishi. Toshkent.O‘kituvchi 1982 y.
3. Yu.N.Kuznesov i.dr. Matematicheskoe programmirovanie. M. Vыsshaya shkola 1976 g.
4.I.G.Shepelev «Matematicheskie metodы i modeli upravleniya v stroitelstve» M: Vыsshaya shkola, 1980 g.
5. Shodiev T.Sh. va boshq. «Ekonomika» Toshkent ,Sharq kond. 1999 y.
6. www.ziyonet.uz