Axborot texnologiyalari universiteti samarqand filiali kompyuter injiniring fakulteti

2. Cheklanmagan optimallashtirish usullari
Asosiy ta'riflar
Ko'pgina nazariy va amaliy masalalarni yechish n o'lchovli vektor argumentining f(x) skalyar funksiyasining ekstremumini (eng katta yoki eng kichik qiymatini) topishga qisqartiriladi. Quyida x ustun vektori (n o'lchovli fazodagi nuqta) sifatida tushuniladi.

Qator vektori ko'chirish operatsiyasini qo'llash orqali olinadi:

Optimallashtirilgan f(x) funksiya maqsad funksiya yoki optimallik mezoni deb ataladi.
Quyida umumiylikni yo'qotmagan holda f(x) funksiyaning minimal qiymatini topish haqida gapiramiz va bu masalani quyidagicha yozamiz:
f(x) --> min.
Maqsad funksiyasining minimumini aniqlovchi x* vektor optimal deyiladi.
E'tibor bering, f(x) maksimallashtirish muammosi ekvivalent minimallashtirish muammosi bilan almashtirilishi mumkin yoki aksincha. Buni bitta o'zgaruvchili funksiya misolida ko'rib chiqamiz.
Agar x * y \u003d f (x) funktsiyasining minimal nuqtasi bo'lsa, u holda y \u003d - f (x) funktsiyasi uchun u maksimal nuqtadir, chunki f (x) va - f funktsiyalarining grafiklari ( x) x o'qiga nisbatan simmetrikdir. Demak, o‘zgaruvchining bir xil qiymatida f(x) funksiyaning minimaliga va funksiyaning maksimaliga – f(x) erishiladi. f(x) funksiyaning minimal qiymati qarama-qarshi belgi bilan olingan f(x) funksiyaning maksimal qiymatiga teng, ya'ni. min f(x) =-max(f(x)) [4].
Shunga o'xshab, bu xulosani bir nechta o'zgaruvchilarning funksiyasi holatiga osongina kengaytirish mumkin. Agar f(x1, …, xn) funksiyani minimallashtirish masalasini maksimallashtirish masalasi bilan almashtirish talab etilsa, bu funksiyaning minimumini topish o‘rniga f(x1,) funksiyaning maksimalini topish kifoya. …, xn). Ushbu funktsiyalarning ekstremal qiymatlariga o'zgaruvchilarning bir xil qiymatlari uchun erishiladi. f(x1, …, xn) funksiyaning minimal qiymati funktsiyaning maksimal qiymatiga teng - f(x1, …, xn), qarama-qarshi belgi bilan olingan, ya'ni. min f(x1, …, xn) =max f(x1, …, xn). Bu fakt bizga faqat minimallashtirish muammosi haqida gapirishga imkon beradi.

1-rasm. Ekstremum
Haqiqiy sharoitda xj, i=1, … o‘zgaruvchilari bo‘yicha. n va ob'ekt, tizim, jarayonning sifat xususiyatlarini tavsiflovchi ba'zi gi (x), hi (x) funktsiyalari, shaklning cheklovlari (shartlari) qo'llanilishi mumkin:
g_i (х) = 0, i=1, …. n,
h_i (х) <= 0, i=1, …. n,
a <= x <= b,
qayerda

Bunday muammo shartli optimallashtirish muammosi deb ataladi. Cheklovlar bo'lmasa, cheksiz optimallashtirish muammosi yuzaga keladi [3].
Cheklovlar bajariladigan x1, ..., xn o‘zgaruvchilarning n o‘lchovli fazosidagi har bir x nuqta masalaning ruxsat etilgan nuqtasi deyiladi. Barcha ruxsat etilgan nuqtalar to'plami ruxsat etilgan mintaqa deb ataladi G. Muammoning echimi (optimal nuqta) ruxsat etilgan x* nuqta bo'lib, bunda f(x) maqsad funksiyasi minimal qiymatiga etadi.
X* nuqtasi X son chizig‘ida aniqlangan bitta o‘zgaruvchi f(x) funksiyasining global minimumini aniqlaydi, agar x * X va f(x*) < f(x) barcha x* X uchun bo‘lsa (2.2-rasm, a). Agar bu tengsizlik qat'iy bajarilsa, x* nuqtasi qat'iy global minimal nuqta deb ataladi. Agar f(x*) <= f(x) ifodada x* ga teng bo'lmagan x uchun f(x) tenglik mumkin bo'lsa, u holda qat'iy bo'lmagan minimum amalga oshiriladi va bu holda yechim x* = [ to'plam deb tushuniladi. x* X: f(x) = f(x*)].

2-rasm. global minimal. a - qat'iy, b - qat'iy bo'lmagan
X* X nuqtasi X to‘plamdagi f(x) funksiyaning lokal minimumini belgilaydi, agar ba’zi yetarlicha kichik e > 0 bo‘lsa, barcha x uchun x* ga teng bo‘lmasa, x X ¦x - x*¦ shartini qanoatlantiradi. <= e, f(x*) < f(x) tengsizlik. Agar tengsizlik qat'iy bo'lsa, x* qat'iy mahalliy minimal nuqtadir. Funksiyaning maksimali uchun barcha ta’riflar oldingi tengsizliklar belgilarini teskari aylantirish yo‘li bilan olinadi. Shaklda. Bir o'zgaruvchining f(x) funksiyasining [a, b] oraliqdagi ekstremalini ko'rsatadi. Bu yerda x1, x3, x6 mahalliy maksimal nuqtalar, x2, x4 esa mahalliy minimal nuqtalardir. X6 nuqtada global maksimal, x2 nuqtada esa global minimal amalga oshiriladi [3].

3-rasm. Funktsiyaning ekstremallari