Axmadaliyeva durdonaning

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda iteratsion metodlar. Iteratsion metodlarni qurishda vektor va matritsalarning normalari va limitlari tushunchalari qatnashadi. Shu sababli ular haqidagi ma'lumotlami keltiramiz. X vektorning normasi deb, quyidagi uch shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy || x|| songa aytiladi.
1) 0 va x = 0 bo'lgandagina = 0;
2) har qanday son uchun = :
3) uchburchak tengsizligi.
x = vektorning yuqoridagi shartlarini qanoatlantiruvchi va ko'proq ishlatiladigan normalardan uchtasini keltiramiz.
1. Kubik norma: =
2.Oktaedrik norma:
3. Sferik norma:
Teorema. Matritsaning bo`ysungan normasi;
1) norma ta'rifining to'rtta shartini qanoatlantiradi;
2) vektning berilgan normasiga moslashgan;
3) vektoming berilgan normasiga moslangan boshqa har qanday normasidan katta emas.
Vektorlarning yuqorida kiritilgan normalariga bo'ysungan matritsa
normalari mos ravishda quyidagilardan iborat:


- kubik norma, (1)


- oktaedrik norma, (2)


- sferik norma, (3)

bu yerda A'A matritsaning eng katta xos soni.

Iteratsion usullarning umumiy xarakteristikasi.
Yuqorida qayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izlangan x echimiga yaqinlashadigan y₀, y₁, y₂, … iteratsion ketma-ketliklarni kurishga asoslangan. Har bir shunday usul navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni avvalgilari yordamida hisoblashga imkon beradigan. Iteratsion formulalar bilan xarakterlanadi. eng sodda xolda y_k+1 ni hisoblashda faqat bitta avvalgi y_k iteratsiyadan foydalaniladi. Bunday usullar bir qadamli deyiladi. Bir qadamli usullar uchun iteratsion formulani quyidagi


(4)

standart kanonik ko`rinishda yozish qabul qilingan; bunda - iteratsion parametrlar ( > 0), – yordamchi maxsusmas matritsalar. Agar va B lar k+1 indeksga bog’liq bo`lmasa, yani

(4) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko`rinishga ega bolsa, u xolda bu iteratsion usul statsionar usul deyiladi. Statsionar usullar hisoblash jarayonini tashkil etish nuqtasi nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular { }, { } ketma-ketliklarni tanlash bilan bog`langan qo`shimcha “erkinlik darajasiga” ega. Bundan y_k iteratsiyalar tizimning x echimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin.
( 4 ) iteratsion formula yordamida navbatdagi yaqinlashishni topish ushbu


(5)

tenglamalar tizimini echishni talab etadi. Bunda

F_k+1 = (B_k+1 – _k+1 A) y_k+ _k+1 f

Shunday hisoblashni har bir qadamda bajarishga tog`ri keladi. B<sub>k+1</sub> matritsa sifatida birlik B<sub>k+1</sub> = E matritsa olsak, iteratsion ketma-ketlik xadlarini hisoblash uchun eng sodda ta`rifga ega bo`lamiz. Bu xolda (4) formula ketma-ketlikning navbatdagi y_k+1 xadini uning avvalgi y_k xadi orqali oshkor ifodalash imkonini beradi:

Y_k+1 = y_k – _k+1 A_k+1 + τ_k+1f (6)

Ana shunday rekkurent formulaga asoslangan iteratsion usullar oshkor usullar deyiladi.

Oshkormas usullar (B_k+1 E orasida B_k+1 matritsani uchburchakli qilib tanlanadigan usullar eng ko`p tarqalgan. Bu xolda navbatdagi y<sub>k+1</sub> iteratsiyani topish uchun y<sub>k+1</sub> ning komponentlarini (5) uchburchakli tizimdan birin-ketin Gauss usulining teskari yurishiga qilinganidek topishga keltiriladi. Qandaydir iteratsion usulning qo`llanishi {y_k} ketma-ketlik tizimning x echimiga yaqinlashishni bildiradi:


(7)

(7) tenglik quyidagini anglatadi.

(8)

(8) dan ko`rinadiki, u vektorlar ketma-ketligining x vektorga yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti xar bir komponentning yaqinlashuvchiligidan iborat:

i=1,2,...,n

Ushbu ayirma z_k=y_k-x xatolik deyiladi. y_k ni y_k = x + z_k ko `rinishda yozib va (4) ga qo`yib, xatolik uchun,

(9)

iteratsion formulami hosil kilamiz. (4) dan farqli o`laroq, u tizimning o`ng tomoni (f) ni o`z ichiga olmaydi, yani bir jinslidir. (7) yaqinlashishni talab etish z_k ning nolga intilishi lozimligini anglatadi:

(10)

Har bir iteratsion usul yaqinlashuvchiligining etarlilik shartlari A, B_k+1 matritsalar va _k+1 iteratsion parametrlar kanoatlantirishi lozim bo`lgan ko`rinishda ifodalanadi. Ulardan bazilarini, ayniqsa, iteratsion parametrlarni optimal tanlashga oid shartlarni tekshirish qiyin. Natijada hisoblashlarni bajarayotganda iteratsion parametrlarni ko`pincha tajriba yo`li bilan (empirik)

tanlashga to`g`ri keladi.