Axmadaliyeva durdonaning

Oddiy iteratsiya usuli
Faraz qilaylik,

Ax = b (11)

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi biror usul bilan

x = Bx+c (12)

ko`rinishiga keltirilgan bo'Isin. Ixtiyoriy vektor olib uni

boshlang'ich yaqinlashish deylik. Agar keyingi yaqinlashishlar
x^(k)=Bx^(k)+c, k=0,1,... (13)

rekurrent formulalar yordamida aniqlansa, bunday metod oddiy

iteratsiya metodi deyiladi. Agar (13) ketma-ketlikning Limiti x^* mavjud
bo`lsa, bu limit (12) sistemaning (shu bilan (11) sistemaning ham)
yechimi bo'ladi.
Haqiqatan ham (13)da limitga o'tsak, x* = Bx* + c kelib chiqadi.
Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishini quyidagi teorema
ko'rsatadi.
Teorema. (13) oddiy iteratsion jarayon ixtiyoriy boshlang'ichda yaqinlashuvchi bo'lishi uchun B matritsaning barcha xos
sonlarining modullari birdan kichik bo`lishi zarur va yetarli.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda

Nyuton va oddiy iterasiya usullari qo’llaniladi. Nyuton va oddiy iterasiya usullarining chiziqli bo’lmagan ikkita tenglama sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik.


(14)

Tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar

(15)

Iterasion formulalardan hisoblanadi.

Bu yerda


,

Dastlabki yaqinlashish grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi.

1-Misol. Quyidagi

Sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.

Yechish. Grafik usulda dastlabki yaqinlashish aniqlangan bo’lsin. U holda


, demak (15)

formulaga ko’ra

Hisoblashlarni shu singari davom qilib topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz. (14) sistemani

(16)

ko’rinishda yozib olamiz. funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. Taqribiy yechimni topish algoritmi

(17)

ko’rinishda beriladi. Bu yerda - birinchi yaqinlashish qiymatlari.

(17) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda


(18)

Tengsizliklar bajarilsa.

Agarda iteratsiya usuli yaqinlashuvchi bo`lsa, u xolda bu usul yuqorida ko`rilgan usullardan quyidagi afzalliklarga ega bo`ladi:
1. Iteratsion jarayon tezrok yaqinlashsa, yani tizimning echimini aniqlash uchun p dan kamroq iteratsiya talab qilinsa, u xolda vaqtdan yutiladi, chunki arifmetik emallar soni p² ga mutanosib (proportsional) (Gauss usuli uchun esa bu son p³ ga mutanosib).
2. Yaxlitlash xatoliklari iteratsiya usulida natijaga kamroq ta`sir etadi. Bundan tashqari iteratsiya usuli o`z xatoligini to`g’irlab boruvchi usuldir.
3. Iteratsiya usuli tizimning muayyan koeffitsientlari nolga teng bo`lgan xolda juda ham qulaylashadi. Bunday tizimlar xususiy hosilali differentsial tenglamalarni echganda koproq uchraydi.
4. Iteratsiya jarayonida bir xil turdagi amallar bajariladi, bu esa eX.M uchun programmalashtirishni osonlashtiradi.