Axmedova mohlaroyning

Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi
Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi)
taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm
bo’yicha tashkil qilamiz:

1. 
   Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
   

2. 
   Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib aniqlaymiz.
   
3. 
   Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
   

Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda

tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar
ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab
qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz (2-rasm).

2 -rasm

Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli.
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) ko‘rinishdagi
tenglamaga keltiramiz.
Teorema. Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
bo‘lsin;
2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3) [a,b] oraliqda  (x)   q < 1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= (x) tenglamaning yagona x=t yechimi
mavjud va bu yechim

t_n= (t_n-1). t₀a,b

formulalar bilan aniqlanadi.

B
erilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

2
-rasm

Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀

qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-
yaqinlashishi, t_i–n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror
(masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a) f(b)<0 shart bajarilishini
tekshiramiz.
3)Tenglamani x_n=(x_n-1) ko‘rinishga keltirib,  (x)[a,b]
ekanligini hamda [a;b] da `(x) mavjudligini tekshiramiz va



ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, x_n=(x_n-1) ketma-ketlikning boshlang‘ich
yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni <  shart
bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
Misol. Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4
aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan x=(x) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.
1) bunda
2) bunda,
3) bunda,
funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz.
Buning uchun,

shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.

[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;

Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz.

- uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
- yaqinlashuvchi iteratsion jarayon
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekan.

1. 
   ni hisoblaymiz va shartni tekshiramiz.
   
   
2. 
   ,
   
3. 
   Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.