Axmedova mohlaroyning

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMLI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI
Fizika-Matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 408-guruh talabasi AXMEDOVA MOHLAROYNING
“ HISOBLASH USULLARI “ fanidan tayyorlagan


KURS ISHI


Mavzu: “Algebraik va transendent tenglamalarni yechish”
Kurs ishi rahbari: Yusupov Ikromjon

Andijon 2022-2023

REJA
1. Algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha
2. Tenglamalarni yechishning oraliqni ikkiga bo’lish usuli
3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
4. Tenglamalarni yechishning Nyuton va vatarlar usullar

KIRISH

Hozirgi kunda fan-texnika rivojlanib borgan sari matematikaning o’rni ortib bormoqda. Shu jumladan matematikadan fizika, mexanika, biologiya, kimyo va astronomiya hamda iqtisodiy masalalarni yechishda, bu jarayonlarni tahlil etishda va boshqa ko’p sohalarda foydalaniladi.

Kurs ishida algebraik va transsendent tenglamalar haqida qisqacha ma`lumot berib o`tamiz. Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni algebraik yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo'lishi mumkin. Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni olish mumkin.
Agar f(x) funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama trigonometrik, algebraik va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transendent tenglamalar deyiladi. Bu tenglamalarni yechishda turli usullardan foydalanib yechishni ko`rib chiqamiz.


Algebraik va transcendent tenglamalar haqida tushuncha
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi.
f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish
deyiladi.
Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ..) ga teng bo'lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir.
Bu funksiyalarga bog'liq bo'lgan argumentlar odatda noma'lum deb
ataladi va funksiyalar qiymatlari teng bo'lgan noma'lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb ataladi.
Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega:

P(x₁,x₂,..x_n) = Q(x₁,x₂,...x_n)

Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar.

Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir. Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. ax+b=0. a,b, berilgan sonlar.
Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni
algebraik yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo'lishi mumkin. Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni olish mumkin.
Amaliyotda, ba’zi masalalarda

f(x)=0

ko‘rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Agar f(x) funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama trigonometrik, algebraik va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transcendent tenglamalar deyiladi. Bunda f(x) [a,b] oraliqda aniqlangan funksiya bo‘lib, f(t)=0 bo‘lsa, x=t ni tenglamaning yechimi-ildizi deyiladi. Tenglamaning aniq yechimini topish qiyin bo‘lgan hollarda uning taqribiy yechimini topishga to‘g‘ri keladi, bu ikki bosqichga bo‘linadi.

1. 
   Yechimni ajratish(yakkalash), ya’ni yagona yechim yotgan intervalni aniqlash;
   
2. 
   Taqribiy yechimni topilgan intervalda berilgan aniqlikda topish.
   

Tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni aniqlash uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi.
Teorema. Aytaylik,
1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin;
2) f(a) f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga
ega bo‘lsin;

3. 
   f`(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
   

U holda, tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.
Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi o’ringa sonli-taqribiy usullar chiqib oldi. Bu usullar o’zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta`minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala hisoblanadi.
Chiziqsi tenglamalardan na`munalar:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Chiziqsiz tenglamalarni sonli- taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan tenglamani yechishning grafik usulidan foydalanamiz.

1-rasm

Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
f(x)=0 (1)

Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida ko’ramiz.

Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan x yechim nuqtasi tenglamaning qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. Yechim joylashgan oraliqni funksiyani ishorasini almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin:

f(a) f(b)<0

Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida yetarli ma’lumotga ega bo’ldik.

Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga
tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash
mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini
formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonli-taqribiy usullariga e’tibor kuchayib bormokda.

Bu usullar jumlasiga quyidagilarni kiritish mumkin:

 oddiy ketma-ketlik (iterasiya);
 oraliqni teng ikkiga bo’lish;
 urinmalar (Nyuton);
 vatarlar (xord) va boshqalar

Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri tanlangan oraliqlarda ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va |(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi.