Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

Yechish: Berilgan tenglamani (1) kanonik tenglama bilan taqqoslab, giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o‘qlari a=4, b=3 ekanligini ko‘ramiz. Bu holda c2=a2+b2 =16+9=25 => c=5 bo‘lgani uchun giperbolaning fokuslari F1(–5,0) va F2(5,0) nuqtalarda joylashganligini aniqlaymiz. Berilgan giperbolaning asimptotalari
, x x x ab y 75 ,043      
ekssеntrisitеti  =c/a=5/4=1,25, direktrisalarining tenglamasi esa x=±a/ =±4/1,25=±3,2 bo‘ladi. Endi giperbolaning berilgan M(8,y) nuqtasining fokal radiuslarini topamiz. Bu nuqta giperbolaning o‘ng shoxida joylashgan va shu sababli (4) formulani “+” ishora bilan qaraymiz:
r1=a+x=4+1,258=14, r2= –a+x=–4+1,258=6.
4.3. Parabola, uning kanonik tenglamasi va xarakteristikalari. Bizga parabola maktabdan ma’lum bo‘lib, u y=ax2+bx+c kvadratik funksiyaning grafigi singari qaralgan edi. Endi bu tushunchaga ma’lum bir xossaga ega II tartibli chiziq singari yondashamiz.
6-TA’RIF: Berilgan F nuqta va l to‘g‘ri chiziqqacha masofalari o‘zaro tеng bo‘lgan tekislikdagi nuqtalarining gеomеtrik o‘rni parabola deb aytiladi. Bunda F nuqta fokus, l to‘g‘ri chiziq esa direktrisa deyiladi.
Parabola tenglamasini topish uchun OX koordinata o‘qini F fokusdan o‘tuvchi va l dirеktrisaga perpendikular qilib, OY o‘qini esa F va l o‘rtasidan o‘tkazamiz. Fokusdan direktrisagacha bo‘lgan masofani |FD|=p>0 dеb belgilaymiz. Unda fokusning koordinatalari F(p/2,0), dirеktrisa tenglamasi esa x=–р/2 bo‘ladi. Parabolaga tegishli ixtiyoriy M(x,y) nuqtani olamiz va uning l direktrisadagi proyeksiyasini C deb belgilaymiz (31-rasmga qarang).
Parabola ta’rifiga ko‘rа |MC|=|MF|. Bu tenglikni koordinatalar orqali ifodalab vа uni soddalashtirib, ushbu natijani olamiz:
2 2 2 2 2 2 22 2 2 p x y p x p x y p x                      px y p xp x y p xp x 2 4 4 2 2 2 2 2 2         
Demak, ko‘rilayotgan parabola 73


y2=2px (6)
tenglama bilan ifodalanadi.