Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

2-TA’RIF: (1) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
Giperbolaning kanonik tenglamasini tahlil etish orqali uning xususiyatlarini aniqlaymiz.
Giperbolaning (1) kanonik tenglamasida x va y koordinatalar juft darajada qatnashadi. Demak, M(х,у) giperbolada yotgan nuqta bo‘lsa, unda ushbu M1(–х,у), M2(–х, –у) va M3(х, –у) nuqtalar ham giperbolaga tegishli bo‘ladi, ya’ni giperbola OX va OY koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrikdir.
Giperbolaning OX va OY koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. у=0   х2 = а2  х = а. 1 22  ах

Bu yerdan gipеrbola OX o‘qini ikkita А1(–а,0) vа А2(а,0) nuqtalarda kesib o‘tishini ko‘ramiz. Bu nuqtalar giperbolaning uchlari , ular orasidagi |А1А2|=2a masofa giperbolaning haqiqiy o‘qi deyiladi.

Agar х=0 dеsak, u holda (1) tenglamadan у2= b2  у natijaga kelamiz. Bundan giperbola OY o‘qi bilan kesishmasligi kelib chiqadi. Shu sababli (1) kanonik tenglama orqali aniqlanadigan В1(0,–b) va В2(0, b) nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, ular orasidagi |B1B2|=2b masofa esa giperbolaning mavhum o‘qi dеb ataladi. Mos ravishda a va b sonlariga 70

giperbolaning yarim haqiqiy va yarim mavhum o‘qlari deyiladi. Giperbolaning o‘qlari kesishadigan nuqta uning markazi dеb yuritiladi.

Giperbolaning (1) kanonik tenglamasidan yana quyidagi natijalarni olamiz:

). , ( 0 0 1 1 ); , [ ] , ( 1 1 1 22 22 22 22 22 22 22 22                           y y ах by bу ах a a x a x bу ах bу ах

Bu yerdan giperbola x=–a va x=a tenglamali vertikal to‘g‘ri chiziqlardan mos ravishda chap va o‘ng tomonda joylashgan ikkita bo‘lakdan iborat chegaralanmagan chiziq ekanligini ko‘ramiz. Bu bo‘laklar giperbolaning tarmoqlari deb ataladi.
Giperbola tenglamasini quyidagi ko‘rinishda qaraymiz:

. 1 1 1 22 2 2 22 22 22 22 xa x ab a x ab y ах by bу ах            

Bu tenglamadan ikkita xulosa kelib chiqadi. Birinchidan, |x| o‘zining eng kichik qiymati a dan boshlab cheksiz oshib borsa, unda |y| qiymatlari 0 dan boshlab cheksiz oshib boradi. Ikkinchidan, |x| oshib borgan sari
. x ab y xa xa       11022 22
Demak, |x| oshib borgan sari giperbolaning shoxlari tobora
(2) x ab y  
tenglamaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarga yaqinlashib boradi. Bu to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deb ataladi.
Izoh: Asimptota tushunchasining aniq ta’rifi keyinchalik VIII bobning, §5, IV qismida beriladi.
Bu ma’lumotlar asosida giperbola shaklini dastlab koordinatalar tekisligining I choragida (x≥0, y≥0), so‘ngra esa uning simmetrikligidan foydalanib, qolgan choraklarda aniqlaymiz. Natijada giperbolani va uning ikkita asimptotasini ifodalovchi quyidagi 30-rasmni hosil etamiz: