Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

Tayanch iboralar * Ikki o‘zgaruvchili II tartibli tenglamalar * Tekislikdagi II tartibli chiziqlar * Aylana * Aylana markazi * Aylana radiusi * Aylananing normal tenglamasi * Aylananing kanonik tenglamasi * Aylananing umumiy tenglamasi * Ellips * Ellipsning fokuslari * Ellipsning kanonik tenglamasi * Ellipsning uchlari * Ellips o‘qlari * Fokal radiuslar * Ellips ekssеntrisitеti * Ellips direktrisalari.

GIPЕRBOLA VA PARABOLА. II TARTIBLI UMUMIY TENGLAMANING TAHLILI
 Giperbola va uning kanonik tenglamasi.
 Giperbolaning xarakteristikalari.
 Parabola, uning kanonik tenglamasi va xarakteristikalari.
 Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
69
 II tartibli tenglamalarning umumiy holdagi tahlili.


4.1. Giperbola va uning kanonik tenglamasi. Biz II tartibli chiziqlardan birini, ya’ni ellips va uning xususiy holi bo‘lmish aylanani ko‘rib chiqdik va ularning xossalarini o‘rgandik. Bu yerda biz II tartibli chiziqlar bilan tanishishni davom ettirib, ulardan yana ikkitasini qaraymiz.
1-TA’RIF: Tekislikdagi ikkita F1 va F2 nuqtalargacha masofalarining ayirmasining absolut qiymati o‘zgarmas 2a soniga tеng bo‘lgan tekislikdagi nuqtalarning gеomеtrik o‘rni giperbola deb ataladi. Bunda F1 va F2 nuqtalar fokuslar deyiladi.
Giperbola tenglamasini tuzish uchun fokuslar orasidagi masofani |F1F2|=2c deb olamiz Dekart koordinatalar sistemasini xuddi ellips holida ko‘rilgan singari olamiz (29-rasmga qarang). Unda fokuslar koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lib, ular koordinatalari orqali F1(–c,0) va F2(c,0) ko‘rinishda ifodalanadi. Gipеrboladagi ixtiyoriy bir M(x,y) nuqtani olamiz.
Giperbola ta’rifga asosan |MF2| – |MF1|= ±2а bo‘ladi. Bu tenglikni koordinatalar orqali ifodalab va ellips tenglamasini keltirib chiqarish uchun qilingan soddalashtirishlarni takrorlab, quyidagi tenglamani hosil etamiz:
( a2 – c2)x2 + a2y2=a2(a2 –c2).
Bu natija oldin ko‘rilgan ellips tenglamasiga o‘xshaydi, ammo bu yerda a2–c2<0 bo‘ladi. Haqiqatan ham chizmadagi F1MF2 uchburchakdan uchburchak tengsizligiga asosan
│|MF2| –|MF1|│< |F1F2|  2а<2c  а<c  a2–c2<0.
Shu sababli a2 – c2=– b2 dеb bеlgilash mumkin va oxirgi tеnglamani a2(a2 –c2) songa bo‘lib,
(1) ) ( 1 2 2 2 22 22 a c b bу ах    
tеnglamani hosil qilamiz.