Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

Giperbolaning xarakteristikalari. Endi giperbolaning xususiyatlarini ifodalovchi ayrim xarakteristikalar bilan tanishamiz.
3-TA’RIF: Giperbolani fokuslari orasidagi 2c masofani uning haqiqiy o‘qi uzunligi 2a ga nisbati giperbolaning ekssеntrisitеti deyiladi.
Giperbolaning ekssеntrisitеti  kabi belgilanadi va uning ta’rifi hamda (1) kanonik tenglamaga asosan quyidagi formula bilan hisoblanadi: 71

. (3) 2 2 2 ) ( 1 22 ab a b a ac ac       

Bu formuladan ko‘rinadiki, giperbolaning ekssеntrisitеti >1 bo‘ladi va uning tarmoqlarini shaklini aniqlashtiradi. Agar  qiymati birga qanchalik yaqin bo‘lsa, giperbolaning tarmoqlari OX o‘qiga qarab shunchalik siqiq,  qiymati oshib borgan sari esa shunchalik yoyiq bo‘ladi.
4-TA’RIF: Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan uning F1 va F2 fokuslarigacha bo‘lgan masofalar shu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi.
Bu fokal radiuslar r1=|MF1| va r2=|MF2| kabi belgilanadi. Ellipsning fokal radiuslarini topish uchun bajarilgan ishlarni takrorlab, giperbolaning fokal radiuslari uchun ushbu formulalarni hosil etamiz:
r1= ±(a+x), r2=±(a–x) (4)
Bunda giperbolaning O koordinata boshidan o‘ng tomonda joylashgan tarmog‘i uchun “+”, chap tomondagi tarmog‘i uchun esa “–” ishorasi olinadi.
5-TA’RIF: Tenglamalari x=а/ bo‘lgan ikkita l1 va l2 vertikal to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning dirеktrisalari dеb ataladi.
Giperbolada ektsеntrisitеt >1 bo‘lgani uchun а/<а. Demak, giperbolaning dirеktrisalari uning O markaz bilan A1 va A2 uchlari orasida joylashgan bo‘ladi.
TЕORЕMA: Giperboladagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtaning r1 va r2 fokal
radiuslarining shu nuqtadan mos l1 va l2 dirеktrisalarigacha bo‘lgan d1 va d2 masofalarga nisbati o‘zgarmas bo‘lib, bu nisbat ektsеntrisitеtga tеng bo‘ladi, ya’ni
.   21 21 dd rr
Tеorеmani isboti ellips uchun ko‘rilgan usulda amalga oshiriladi va o‘quvchiga havola qilinadi.
Endi (1) kanonik tenglamada а=b bo‘lgan holni alohida ko‘rib chiqamiz.Bu holda giperbola tеng yonli deyiladi. Teng yonli giperbolaning asimptotalari qiх tenglama bilan aniqlanib, koordinata burchaklarining bissektrisalaridan iborat va o‘zaro perpendikular bo‘ladi. Bu asimptotalarni OX* va OY* koordinata o‘qlari sifatida olsak, unda bu yangi koordinatalar sistemasida giperbolaning tenglamasi bizga maktabdan tanish bo‘lgan х* у*=k  у*=k/x* (k≠0) ko‘rinishga kеladi. Bunda k>0 bo‘lsa giperbola tarmoqlari koordinata tekisligining I va III choraklarida, k<0 holda esa II va IV choraklarda joylashgan bo‘ladi.
Iqtisodiy masalalarni qarashda kasr – chiziqli deb ataladigan va
(5) ) 0, 0(      ad bc c dcx b ax y
ko‘rinishda bo‘lgan tenglama ko‘p uchraydi. Masalan, iqtisodchi olim Tornkvist odamlarning daromadlari x va turli tovarlarga bo‘lgan talablari y orasidagi bog‘lanishning matematik modelini kasr – chiziqli tenglama ko‘rinishda qarash kerakligini asoslab bergan (VI bob, §3 ga qarang). Bu model x daromad oshib borishi bilan y talab ham dastlab oshib borishi, ammo borgan sari bu o‘sish sekinlashib, ma’lum bir chegaradan ortiq bo‘la olmasligini akslantiradi.
Agar ko‘rsatilgan kasr – chiziqli tenglamada yangi
ca y y cd x x       , 72

koordinatalarga o‘tsak va k=(bc – ad)/c2 belgilash kiritsak, unda (5) у*=k/x* ko‘rinishga kelishini tekshirib ko‘rish mumkin. Demak, (5) kasr – chiziqli tenglama teng yonli giperbolani ifodalaydi. Bu teng yonli giperbolaning asimptotalari x=–d/c vertikal va y=a/c gorizontal to‘g‘ri chiziqlardan iborat, markazi esa M(–d/c, a/c) nuqtada joylashgan bo‘ladi.

Misol: Quyidagi kanonik tenglamasi bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping:
. 1 916 2 2   y x
Bu giperbolaning abssissasi x=8, ordinatasi y>0 bo‘lgan M nuqtasining fokal radiuslarini aniqlang.