Aylana, ellips, giperbola, parabola. Analitik geometriyaning amaliy masalalarga tadbig’I.  II tartibli tenglama va chiziqlar

4.5. II tartibli tenglamalarning umumiy holdagi tahlili. Biz tekislikdagi II tartibli tenglama umumiy holda XOY Dekart koordinatalar sistemasida

Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Еу+F=0 , A2+B2+C2≠0 , (10)

ko‘rinishda bo‘lishini ko‘rgan edik. Ko‘rsatish mumkinki, koordinatalar boshini O(0,0) nuqtadan boshqa biror nuqtaga parallel ko‘chirish yoki OX, OY o‘qlarini biror α burchakka burish yoki parallel ko‘chirish va burish orqali yangi (qulaylik uchun uni ham XOY deb belgilaymiz) koordinatalar sistemasiga o‘tsak, (10) quyidagi tenglamalardan biriga keladi.
1. . Bu holda (10) tenglama ellipsni ifodalaydi; 1 22 22   by ax
2. . Bu holda (10) tenglamani birorta ham nuqta qanoatlantirmaydi, ya’ni u bo‘sh to‘plamni ( mavhum ellipsni) ifodalaydi; 1 22 22    by ax
3. . Bu holda (10) tenglamani faqat O(0,0) nuqta qanoatlantiradi va u ikkita mavhum kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; 0 22 22   by ax
4. . Bu holda (10) tenglama kesishuvchi bir juft y=±(b/a)x to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; 0 22 22   by ax
5. . Bu holda (10) tenglama giperbolani ifodalaydi; 1 22 22   by ax
6. . Bu holda (10) tenglama bir juft vertikal to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; a x a x ax       2 2 22 1
7. . Bu holda (10) tenglamani birorta ham nuqta qanoatlantirmaydi, ya’ni u bo‘sh to‘plamni ( bir juft mavhum vertikal to‘g‘ri chiziqlarni) ifodalaydi; 2 2 22 1 a x ax     
8. . Bu holda (10) tenglama bir juft ustma-ust tushgan vertikal to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; 0 0 2    x x
9. . Bu holda (10) tenglama bir juft gorizontal to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; b y b y by       2 2 22 1
76
10. . Bu holda (10) tenglamani birorta ham nuqta qanoatlantirmaydi, ya’ni u bo‘sh to‘plamni ( bir juft mavhum gorizontal to‘g‘ri chiziqlarni) ifodalaydi; 2 2 22 1 b y by     
11. . Bu holda (10) tenglama bir juft ustma-ust tushgan gorizontal to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi; 0 0 2    y y
12. . Bu holda (10) tenglama parabolani ifodalaydi. px y 2 2 

Umumiy (10) tenglamadagi bosh A,B va C koeffitsiyentlardan tuzilgan va xarakteristik determinant deb ataladigan ushbu II tartibli determinantni qaraymiz:

2 B AC CB B A    
Agar (10) tenglamada Δ>0 bo‘lsa, u elliptik turdagi tenglama deyiladi va yuqorida ko‘rib o‘tilgan 1–3 kanonik tenglamalardan biriga keltiriladi.
Agar (10) tenglamada Δ <0 bo‘lsa, u giperbolik turdagi tenglama deyiladi va yuqorida ko‘rib o‘tilgan 4–5 kanonik tenglamalardan biriga keltiriladi.
Agar (10) tenglamada Δ =0 bo‘lsa, u parabolik turdagi tenglama deyiladi va yuqorida ko‘rib o‘tilgan 6–12 kanonik tenglamalardan biriga keltiriladi.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, tekislikdagi II tartibli (10) umumiy tenglama bilan aniqlanadigan II tartibli egri chiziqlar faqat ellips (xususiy holda aylana), giperbola va paraboladan iborat ekan. Bu chiziqlar qadimgi yunon matematiklariga ma’lum bo‘lib, konik kesimlar deb atalgan. Bunga sabab shuki, aylanma konusni turli tekisliklar bilan kesganda, kesimda aynan mana shu chiziqlar hosil bo‘ladi.
Misol: Ushbu II tartibli tenglamalar bilan berilgan chiziqlar ko‘rinishini aniqlang:
1) 36x2+36y2 – 36x – 24y – 23 =0; 2) 16x2+25y2 – 32x +50y – 359 =0.