B] кесмани n та тенг бўлакка бўлиб бўлиниш нуқталари орасидаги қадам

Эйлер усули

Берилган [x₀,b] кесмани n та тенг бўлакка бўлиб бўлиниш нуқталари орасидаги қадам

h=(b-x₀)/n (9.3)

бўлганда, бу нуқталар координаталари

x_i=x_i-1+ h, i=1, 2, ….n (9.4)



бўлади. Бошланғич шартдаги x₀ ва y₀ лардан фойдаланиб тенглама ечимининг қийматларини тақрибан қуйидагича ҳисоблаймиз.

y₁=y₀+hf (x₀,y₀)

y₂=y₁+hf (x₁,y₁)

y₃=y₂+hf (x₂,y₂) (9.5)

- - - - - - - - -

y_n=y_n-1+hf (x _n-1,y _n-1)

натижада изланаётган ечимни қаноатлантирувчи

(x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂), ……, (x_n;y_n)

нуқталарни аниқлаймиз. Бу нуқталарни туташтирувчи синик чизиқ Эйлер чизиғи деб аталади ва у тенглама ечимининг тақрибий графигини ифодалайди.

9.1-масала. Қуйидаги.


биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг


x₀=1.8 y₀=2.6

бошланғич шартни қаноатлантирувчи [1.8, 2.8] оралиқда ечимини h=0.1 қадами билан, e=0.001 аниқликда:

Эйлер усули;

Ечиш.

1. Берилган дифференциал тенгламани Эйлер усулида йечамиз.

Бунинг учун [1.8, 2.8] оралиқни

яъни, n=10 та бўлакка ажратамиз. Бўлиниш нуқталарини:

x_i=x_i-1+h, i=1,2,...,10

формулага асосан топамиз.

x₁=x₀+h=1.8+0.1=1.9

x₂=x₁+h=1.9+0.1=2.0

шунингдек

x₃=2.1, x₄=2.2, x₅=2.3, x₆=2.4, x₇=2.5, x₈=2.6, x₉=2.7, x₁₀=2.8

Берилган тенгламанинг ўнг томонидаги

F(x;y)=x+cos(y/)

функцияга асосан, Эйлер қоидаси билан қуйидаги

y_i+1=y_i+ h f(x_i;y_i), i=1,2,...,10

формулага асосан берилган дифференциал тенглама ечимининг қийматларини қуйидагича топамиз.

y₁=y₀+hf (x_0, y₀)=y₀+h (x₀+cos(y₀/))=

=2.6+ 0.1(1.8+cos(26/))=2.6+0.1(18+0.3968)=2.81968

y₂=y₁+h f (x₁,y₁)=y₁+h(x₁+cos(y₁/))=

=2.819+ 0.1(1.9+cos(9.819/))=2.819+0.1(1.9+0.3968)=3.03948

Шунингдек, қуйидагиларни топамиз:

y₃=3.261, y₄=3.4831, y₅=3.7045, y₆=3.926

y₇=4.1478, y₈=4.3701, y₉=4.5931, y₁₀=4.8173

Бу усул ёрдамида ҳисоблаш қуйидагича дастур асосида берилган.

#include

using namespace std;

float x, y, h, b, EPS;

int i, n;

float funk(float x1, float y1)

{

return (x1+cos(y1/sqrt(5)));

}

int main()

{

cout << " x = " ;

cin >> x;

cout << " y = " ;

cin >> y;

cout << " h = " ;

cin >> h;

cout << " b = ";

cin >> b;

n = ceil((b-x)/h);

for(int i = 1; i <= n; ++i)

{

y = y + h * funk(x,y);

x = x + h;

cout << "x ("<< i << ") = " << x << "\n";

cout << "y ("<< i << ") = " << y << "\n";

}

}