B. Kömekow, A. Orazgulyýew, G. Gurbangulyýew, O. Aşyrow, A. Kaşaňow, H. Geldiýew, A. Öwezow TÄsin matematikanyň syrlary

16. APB we DPC üçburçluk­
lar deňýanly däldirler.
17. Biz indeksli A
k
A
k+1
we 
B
k
B
k+1
kesimleriň hiç wagt ke­
sişmeýändigini subut etdik, ýöne 
ondan, mysal üçin, A
3
A
4
we B
7
B
8
kesimleriň kesişip bilmeýändigi 
gelip çykmaýar.
18. Bir töweregiň nokatlary 
bilen beýleki bir töweregiň nokatlarynyň arasynda 
özara birbahaly degişlilik gurnalmagyndan ola ryň 
uzynlyklarynyň deňdigi gelip çykýar.
19. Döwük çyzygyň uzynlygy kesimiň uzynlygyna 
ymtylýar.
20. Döwük çyzygyň uzynlygy kesimiň uzynlygyna 
ymtylýar.
21. O nokat hökman BC dia metrli töweregiň üstün­
de ýat maly.

---

105
IV BAP
MATEMATIKI GÖZBAGÇYLYKLAR
Belli bolşy ýaly, çagalarda dersi öwrenmeklige 
çuňňur höwes döretmezden, olarda mugallym tarapyn­
dan öwredilýän bilimleriň üstüni özbaşdak ýetirip dur­
maga isleg döretmezden, diňe sapak wagtynda alnyp 
barylýan işleriň netijesinde olara zerur bolan bilimle­
ri, başarnyklary we endikleri doly berip bolmajakdygy 
düşnüklidir.
Okuwçylarda matematika dersine gyzyklanma dö­
ret mekde matematiki gözbagçylyklara (fokuslara) hem 
uly orun degişlidir. 
1. Çalt köpeltmek
Köp ýagdaýlarda ýönekeý algebraik özgertmeleriň 
kömegi bilen hasaplaýyş işini ep­esli ýeňilleşdirip 
bolýar. Şeýle tärleri ulanyp, çalt köpeltmegi amala 
aşyrýan okuwçy beýlekilerde uly haýran galmany döre­
dip bilýär.
Mysal üçin, 975
2 
hasaplamak aşakdaky ýaly ýerine 
ýetirilýär:
975 ⋅ 975 = (975 + 25) ⋅ (975 – 25) + 25
2
=1000 ⋅ 950 + 
+ 625 = 950625.

---

106
Bu hasaplama amala aşyrylanda aşakdaky algeb­
raik özgertmäniň geçirilýändigine göz ýetirmek kyn 
däldir:
a
2
=a
2
–b
2
+b
2
=(a+b)⋅(a–b)+b
2
.
Bu özgertme ýatdan hasaplamak üçin giňden ula­
nylýar. Mysal üçin:
27
2 
= (27+3)⋅(27–3)+3
2
=729 
37
2
=40⋅34+3
2
=1369
63
2
=66⋅60+3
2
=3969 
48
2
=50⋅46+2
2
=2304
18
2
=20⋅16+2
2
=324 
54
2
= 58⋅50+ 4
2
=2916.
Şeýle­de, 986­ny 997­ä köpeltmek aşakdaky ýaly 
amala aşyrylýar:
986 ⋅ 997 = (986–3) ⋅ 1000 + 3 ⋅ 14 = 983042.
Bu usul nämä esaslanýar?! Köpelijileri aşakdaky 
görnüşe getireliň:
(1000–14)⋅(1000–3) we olary algebraik özgertmele­
ri ulanyp köpeldeliň: 
1000⋅1000–1000⋅14–1000⋅3 + 14⋅3. 
Özgertmeler geçirýäris:
1000(1000–14)–1000⋅3+14⋅3=1000⋅986–1000⋅3+14⋅3=
=1000(986–3)+14⋅3.
Soňky ýazgy bu hasaplamanyň algebraik mazmu­
nyny aýan edýär. Onluk sifrleri deň we birlikleriniň 
jemi 10­a deň bolan üçbelgili sanlary köpeltmegiň­de 
täsin usuly bar. Mysal üçin 783⋅787 köpeltmek şeýle 
ýerine ýetirilýär:
78⋅79 = 6162; 3⋅7=21 diýmek, netije 616221.
Bu usulyň esaslandyrylyşy aşakdaky özgertmeler­
den durýar:
(780+3)⋅(780+7)=780⋅780+780⋅3+780⋅7+3⋅7=
=780⋅780+780⋅10+3⋅7=780⋅(780+10)+3⋅7=
=780⋅790+21=616200+21616221. 

---

107
Şeýle sanlary köpeltmegi ýerine ýetirmegiň has ýö­
nekeý usuly hem bar:
783 ⋅ 787 = (785 – 2) ⋅ (785 + 2) =785
2 
– 4 =
= 616225 – 4 = 616221.
Bu mysalda bize 785­i kwadrata götermek gerek 
boldy. Soňy 5 bilen gutarýan ikibelgili sanlary kwadra­
ta götermek üçin aşakdaky usul has­da amatlydyr:
35
2
;
3⋅4=12; Jogaby: 1225.
65
2
; 6⋅7=42; Jogaby: 4225.
75
2
; 7⋅8=56; Jogaby: 5625.
Bu düzgün, onluklaryň sanyny şondan bir birlik 
uly sana köpeltmek hasylynyň soňuna 25­i ýazmakdan 
durýar. Bu usuly esaslandyralyň: 5 bilen tamamlanýan 
ikibelgili sanlary 
5
a
=10a+5 görnüşde ýazmak bolýar. 
Onda:
(10a+5)
2
=100a
2
+100a+25=100a⋅(a+1)+25.
a⋅(a+1) aňlatma sanyň onlugyny, şondan bir birlik 
uly sana köpeltmekligi aňladýar. Bu tärden drob böle­
gi 
2
1
­e deň bolan garyşyk sanlary kwadrata götermegiň 
ýönekeý usuly gelip çykýar. Mysal üçin:
,
,
;
;
;
3
2
1
3 5
12 25
12
4
1
7
2
1
56
4
1
8
2
1
72
4
1
2
2
2
2
=
=
=
=
=
`
`
`
j
j
j
we ş.m.
Onluk sifri 5­e deň bolan ikibelgili sanlary kwad­
rata götermegiň hem örän oňaýly usuly bar. Mese­
lem, 58
2
=3364. Bu netijäni tapmak üçin kwadrata 
göterilýän sandan 25­i aýryp, onuň yzyndan kwadra­
ta göterilýän sanyň birliginiň kwadratyny ýazmaly. 
Biziň mysalymyzda 58–25=33 we 8
2
=64, diýmek, 
58
2
=3364. 59
2
=3481, sebäbi 59–25=34 we 9
2
=81. Bu 
düzgüni umumy görnüşde getirip çykaralyň. Kwadra­
ta göterilýän sany x=50+a görnüşde ýazalyň. Onda 

---

108
x
2
=(50+a)
2
=2500+100a+a
2
=(25+a)⋅100+a
2
⋅a=x–50
bol ýan lygyny göz öňünde tutup alarys:
(25+a)⋅100+a
2
=(25+x–50)⋅100+a
2
= (x–25)⋅100+a
2
.