Б. Ш. Тиллабаев Фарғона политехника институти

ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН СПЕКТРАЛ МАСАЛАНИНГ ҚЎЛЛАНИЛИШИ
Б.Ш. Тиллабаев
Фарғона политехника институти
[e-mail]
Аннотатция: ушбу мақолада, иккинчи тартибли дифференциал тенглама учун спектрал масаланинг қўлланилиши тадбиқ этилган ва исботланган. Масаланинг ечимини топиш мисол ёрдамида тушунтирилган
Калит сўзлар: дифференциал тенглама, спектрал масала, параметр ва дифференциалланувчи функция


ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Б.Ш. Тиллабаев
Фарғона политехника институти
[e-mail]
Аннотация: в данной работе применяется и доказывается применение спектральной задачи к дифференциальному уравнению второго порядка. Поиск решения задачи поясняется на примере
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, спектральная задача, параметр и дифференцируемая функция


APPLICATION OF SPECTRAL PROBLEM FOR SECOND-ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
B.SH.Tillabayev
Fergana Polytechnic Institute
[e-mail]
Annotation: in this article, the application of the spectral problem to the second-order differential equation is applied and proved. Finding a solution to the problem is explained with the help of an example
Key words: differential equation, spectral problem, parameter and differentiable function

Масаланинг қўйилиши.

Қуйидаги иккинчи тартибли оддий дифференциал тенгламани
(1)
ва
, (2)
бир жинсли чегаравий шартларни қаноатлантирувчи функция топилсин.
Бу ерда да узлуксиз функция, - сон параметр.
(1) тенгламага мос бир жинсли
(1*)
кўринишдаги тенгламанинг умумий ечими
(3)
кўринишда топилади.
Демак, тенгламага спектрал масалалар шартларини тадбиқ қилсак, қуйидаги ҳолларни кўришимиз мумкин:
1. бўлсин, у ҳолда (3) тенгламада ечим доимо мавжуд, чунки .
2. бўлса, (3) тенглама ечимга эга бўлади.
3. бўлган ҳолда эса, ечим мавжуд бўлиши учун шарт ҳам бажарилиши керак.
Бизга маълумки, ҳар қандай иккинчи тартибли бир жинсли чизиқли дифференциал

тенгламани

кўринишга келтириш мумкин.
Штурм теоремасига кўра, иккинчи тартибли бир жинсли
(4)
дифференциал тенгламанинг иккита чизиқли боғлиқ бўлмаган тебранувчи ечимларининг ноллари бир-бирини ўзаро ажратади.
Исбот: Фараз қилайлик, ва (4) тенгламанинг иккита чизиқли боғлиқ бўлмаган тебранувчи ечимлари бўлсин ва ечимнинг иккита кетма-кет ноли ва бўлиб, оралиқда бошқа нолга эга бўлмасин, яъни, , .
оралиқда фақат битта нуқта мавжудки, бу нуқтада бўлади. Тескарисидан фараз қилсак, оралиқдаги нуқта учун бўлсин. оралиқда деб оламиз. оралиқ оҳирида нолга тенг бўлмайди, яъни , акс ҳолда Вронскиан
(5)
ва нуқтада нолга тенг бўлар эди. Бундай бўлиши мумкин эмас. ва лар чизиқли боғлиқ эмас. Демак, Вронский детерминанти бу оралиқда ўз ишорасини ўзгартирмайди. Шунинг учун оралиқда деб олишимиз мумкин. (5) нинг ҳар иккала томонини га бўламиз
.
бўлгани учун, бу тенгликнинг ўнг томони х ни узлуксиз функцияси бўлади. Кейинги тенгликни ҳар иккала томонини оралиқда интеграллаймиз
.
Бу тенгликнинг чап томони нолга тенг бўлиб, ўнг томони эса мусбатдир. Бу қарама-қаршилик шуни кўрсатадики, шундай нуқта мавжудки, бу нуқтада . Бундай нуқта ягонадир.
Аксинча фараз қилсак, иккита нуқталарда нолга тенг бўлсин. У ҳолда бўлади. ва нинг ўринларини алмаштирсак, оралиқда нинг битта ноли бўлар эди. Бу эса иккита кетма-кет нолга эга деган шартга қарама-қаршидир.
Бунга мисол қилиб тенгламани олишимиз мумкин. Бу тенгламанинг иккита , чизиқли боғлиқ бўлмаган ечимларининг ноллари алмашиниб келади. Теорема исботланди.
Эслатма. Штурм-Лиувилл масаласини кўриб чиқайлик.


. (6)
Бу ерда ҳақиқий дифференциалланувчи функция бўлиб,

ва ҳақиқий коеффицентли умумий илдизга эга бўлмаган кўпҳадлар.
Агар нинг бирор қийматида бўлса (6) чегаравий шарт билан алмаштирилади.


Фойдаланилган адабиётлар
1 Ж.Н.Ватcон. Теория бесселовых функции. -Т. 1.-М.: Изд. ИЛ, 1949. -798 с.
2. Н.Лебедов. Специальные функции и их приложения. -Москва, 1963. 359 с.
3. А.Қ.Ўринов. Махсус функциялар ва махсус операторлар. -Фарғона 2012 й. -112 б.