Хусусий ҳосилали биринчи тартибли тенгламалар

Aim.Uz

Хусусий ҳосилали биринчи тартибли тенгламалар
Р Е Ж А
Хусусий ҳосилали тенглама

1. 
   Бир жинсли тенглама.
   
2. 
   Симметрик формаси.
   
3. 
   Бир жинсли бўлмаган тенглама.
   
4. 
   Коши масаласи.
   

Биз олдинги барча мавзуларда бир аргументли функциянинг ҳосиласи қатнашган биринчи ва юқори тартибли тенгламалар билан танишдик. Энди кўп ўзгарувчили функцияларда биринчи тартибли хусусий ҳосила қатнашган тенгламани кўриб чиқамиз.
(1)
кўринишдаги тенглама хусусий ҳосилали биринчи тартибли тенглама дейилади. Агар Ф функция хусусий ҳосилаларга чизиқли боғлиқ бўлса, у ҳолда
(2)
кўринишдаги тенглама чизиқли тенглама дейилади.
Аввало
(3)
кўринишдаги хусусий ҳосилали чизиқли бир жинсли тенглама билан танишамиз.
Шуни айтиш лозимки u=const хар доим ечим. Биз тривиал бўлмаган ечимни қидирамиз.
(3) га мос оддий дифференциал тенгламалар системасининг симметрик формаси
(4)
кўринишда ёзилади.
Ушбу теоремани келтирамиз:
ТЕОРЕМА. (4) системанинг интеграли (3)нинг ечими бўлади.
Исбот: (4) интеграли бўлсин. У ҳолда ундан олинган тўла дифференциал нолга тенг, яoни
(5)
Бу ерда (4) дан фойдаланиб dx_i ларни ўрнига

тенгликларни қўямиз ва

ифодани ҳосил қиламиз. dx_n га қисқартириб ва X_n га кўпайтирсак,

тенгликка келамиз. Сўнгги тенглик эса функция (3) нинг ечими эканлигини кўрсатади.
ТЕОРЕМА 2. (3) нинг ечими (4)нинг интеграли бўлади.
Бу теорема ҳам содда исботланади.
Агар (4)ни n-1 та интеграли маoлум бўлса, у ҳолда (3) нинг умумий ечими
u=Ф( )
кўринишда ёзилади.
Бир жинисли бўлмаган тенглама.
Қуйидаги кўринишдаги
(1)
тенглама хусусий ҳосилали бир жинсли бўлмаган чизиқли тенглама дейилади.
Бунда X₁,X₂,…,X_n ва R функция нуқтани атрофида узлуксиз дифференциалланувчи деб фараз қиламиз.

1. 
   тенгламанинг ечимини
   

V =0
ошкормас кўринишда қидирамиз .V функция барча аргумент бўйича узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга ва

эканлигидан

ҳосилага эгамиз. Бундан

тенгликни олиб , уларни ( 1) тенгламага қўйиб соддалаштирсак,

тенглама ҳосил бўлади.
Бу бир жинсли тенглама кўринишига эга бўлиб, унинг симметрик формасини қуйидагича
(2)
ёзиш мумкин. Бу системани n та эркли интегралини

топамиз. Уҳолда (1) нинг умумий ечими
V=Ф( )кўринишда бўлади. Бу функцияни 0 га тенглаб, (1) тенгламанинг умумий ечимини оламиз
Ф (3)
КОШИ МАСАЛАСИ. Хусусий ҳосилали тенглама учун қуйидагича қўйилади. (1) тенгламанинг ечимлари ичидан шундай

ечимни топингки , у да
(4)
функцияга тенг бўлсин , бунда  - берилган функция.
Коши масаласини ечиш ушбу тартибда амалга оширилади:
1.Тенгламанинг симметрик (2) формасини тузиб, n та интеграл топилади.
(5)
2.(5) даги х ўрнига ни қўямиз

ва бу системани га нисбатан ечилади.
,
бунда ва ни кўринишидан фойдалансак,

Коши мас

3.Бу функциялардан

(6)
муносабатни тузамиз. (6)га Коши масаласининг ошкормас кўринишдаги ечими дейилади. Агар (6)ни u га нисбатан ечсак, ошкор кўринишида Коши масаласининг ечимини оламиз.
МИСОЛ. Тенгламани ечинг.

бу тенгламанинг симметрик формаси
.
системани ечиб,
,
бунда y=0 қўйиб,

бу системадан х ва z ни топамиз.

(6) формулага кўра
аласининг ечими бўлади.

ТЕКШИРИШ УЧУН САВОЛЛАР:

1. 
   Хусусий хосилали тенглама умумий кўриниши.
   
2. 
   Хусусий хосилали чизиқли тенглама кўриниши.
   
3. 
   Тенглоама тартибини тушунтиринг.
   
4. 
   Симметрик формасини ёзинг.
   
5. 
   Умумий ечимни таoрифланг.
   
6. 
   Хусусий хосилали тенглама учун Коши масаласини қўйинг.
   
7. 
   Коши масаласини ечиш структурасини тушунтринг.
   
8. 
   Коши масаласининг ошкормас кўринишдаги ечими.
   
9. 
   Коши масаласининг ошкор кўринишдаги ечимини хосил қилиш.
   
10. 
    Коши масаласини ечинг:
    

z = 2x; y = 0 да.
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.
Биринчи тартибли хусусий ҳосилали тенглама, хусусий ҳосилали чизиқли тенглама, симметрик форма, Коши масаласи.
АДАБИЁТЛАР.
1.М.С.Салохитдинов, Г.Н.Насриддинов . Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.1992й.
2.Матвеев Н.М. Метод интегрирования обекновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 1967г.