Baǵdarì 4-kurs 3003-19/1 tt(qq) topar studenti Duysenbaev Perdebaydin’

ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASÍ INFORMACIYALÍQ TEXNOLOGIYALARÍ HÁM KOMMUNIKACIYALARÍN RAWAJLANDÍRÍW MINISTRLIGI
MUHAMMED AL-XOREZMIY ATÍNDAǴÍ TASHKENT INFORMACIYA TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI NÒKIS FILIALÍ
<> fakulteti
<> BAǴDARÌ
4-kurs 3003-19/1 TT(qq) topar studenti
Duysenbaev Perdebaydin’
A’meliy programmaliq paketler pa’ninen


ÒZBETINSHE JUMIS
Tayarlag’an ________________________________ Duysenbaev P
Qabillag’an ________________________________

No’kis-2023
Tema : Matlab sistemasında interpolyasiya máselelerin sheshiw texnologiyası
Joba :
1. Matlab sistemasında maǵlıwmatlardıń approksimatsiyasi hám interpolyatsiya-sini esaplaw
2. Matlab te maǵlıwmatlardı interpolyatsiya qılıw
3. Matlab te mısallar sheshiw

Matlab sistemasında maǵlıwmatlardıń approksimatsiyasi hám interpolyatsiya-sini esaplaw
Kóplegen ámeliy máselelerdi sheshiwde funkciyalardı approksimaciya hám interpolyaciya járdeminde jaqınlastırıw máselelerin sheshiw talap etiledi.
Approksimaciya degende bir funkciya(approksimaciyalanıwshı)nıń berilgen mánisleri hám belgili bir kriteriya tiykarında basqa eń jaqsı jaqınlasıwshı funkciyaǵa almastırıw túsiniledi.
Interpolyaciya degende bir funlciyanıń kem sanlı túyin noqatları (interpolyaciya túyinleri) berilgen mánislerden paydalanıp, mánisleri berilgen funkciyanıń túyin noqatlarındaǵı mánisleri menen ústpe-úst túsiwshi hám túyin noqatlar arasındaǵı qálegen noqatta funkciyanıń mánislerin esaplawǵa imkan beriwshi jaqınlastırıwshı polinom menen almastırıw túsiniledi.
Matlabta approksimaciyalawshı funkciya sıpatında n-tártipli kópaǵzalı, approksimaciya kriteriyası sıpatında orta kvadraturalıq shetlestiriw paydalanıladı.
Approksimaciyalaw funkciyası tómendegi kóriniske iye:
r = polyfit(x,y,n), bul jerde
x,y – bu=irdey yaki túrli adımdaǵı túyin noqatlar hám usı noqattaǵı berilgen mánisler;
n – approksimasiyalawshı polinom tártibi;
r - approksimasiyalawshı polinom koefficientleri vektorı.
Mısal: y = funkciyanıń birdey adımdaǵı túyin noqatlarındaǵı mánisleri tiykarında 5-tártipli kópaǵzalı menen approksimaciya etiw.
x=0:pi/8:4*pi;y=sin(x)./x;
p=polyfit(x,y,5)
fa=polyval(p,x);
subplot(3,1,1:2),plot(x,y,'-o',x,fa,':*'),grid,hold on;
error=abs(fa-y);subplot(3,1,3),plot(x,error,'-p')

1-súwret. Approksimaciya grafigi
Mısal: y = funkciyanıń [0.1;4.5] aralıqta hár qıylı adım menen 3-tártipli kópaǵzalı menen approksimaciyasın tabıń.
x=[0.1 0.3 0.5 0.75 0.9 1.1 1.3 1.7 2 2.4 3 3.1 3.6 4 4.1 4.2 4.3 4.5];
y=sin(x)./x;
p=polyfit(x,y,3);
fa=polyval(p,x);
subplot(3,1,1),plot(x,y,'-o'),grid,title('y=sin(x)/x'),hold on;
subplot(3,1,2),plot(x,fa,':*'),grid,title('polinom'),hold on;
error=abs(fa-y);
subplot(3,1,3),plot(x,error,'-p'),grid,title('oshibka'),hold on;
stem(x,error)



2-súwret. Approksimaciya grafigi
Bir ózgeriwshili interpolyaciyalaw interp(x,y) funkciyası arqalı ámelge asırıladı.
Mısal: y = funkciyanıń birdey adım menen kubik kópaǵzalı menen kubik splayn tiykarında interpolyaciyası tabıń.
x=0:pi/2:(4*pi+pi/2); y=sin(x)./x;
xi=0:pi/16:(4*pi+pi/16);
fi1=interp(x,y,xi,3);
plot(x,y,'-o',xi,fi1,':*'),grid,hold on
legend('y=sin(x)/x','subis')
figure
fi2=interp(x,y,xi,3);
plot(x,y,'-o',xi,fi2,':*'),grid,hold on
legend('y=sin(x)/x','spline')

. Matlab te maǵlıwmatlardı interpolyatsiya qılıw

Interpolyatsiyalaw teoriyası tiykarları Anıq túyinler degi interpolyatsiya Ámeliyatda processtiń parametrleri tájiriybe tiykarında keste kórinisinde anıqlanǵan bolıwı múmkin.
Atap aytqanda processtiń X hám U parametrleri ústinde ótkerilgen gúzetisler tómendegi keste kórinisinde kórsetilgen bolsın.
Áne sol keste bahalar tiykarında X hám U ózgeriwshiler arasındaǵı funksional baylanısıwdı Y=P (x) anıqlaw máselesi approksimatsiya máselesi dep ataladı.
Bul erda eki soraw hal etiliwi kerek. Birinshiden P (x) funksiya kórinisin tańlaw, ekinshisi bolsa onıń kestege muwapıq yamasa jaqınlıǵın támiyinlew.
Birinshi soraw juwabı retinde funksiyalar kompleksinen esaplaw hám analiz qılıw kózqarasınan eń qolayı, yaǵnıy ko'pxadlarni tańlaymiz. Ekinshi soraw yaǵnıy kestege muwapıqlıq belgisi retinde teńlikti talap etemiz.
Nátiyjede tómendegi matematikalıq máseleni payda etemiz. ko'pxadlar arasından sondayi tapilsinki, keste túyinleri noqatlarda belgisiz funksiya keste bahalarına teń bolsın.
Bul talaptı barlıq noqatlar ushın yoyib jazsak, belgisiz koeffitsentlar larni anıqlaw ushın tómendegi sistemanı payda etemiz.
Eki m - hám n - tártipli kóp aǵzalılardı kóbeytiw operatsiyası konvolyutsiya dep ataladı hám tómendegi komanda arqalı ámelge asıriladı : s=conv (a, b), bul jerdea, b - uzınlıqları (m+1) hám (n+1) bolǵan hám ko'paytirilayotgan kóp aǵzalılar koefficiyentlerinen ibarat vektorlar
Mısal : 1) P1=[-2 3 1] hám P2=[3-4 5 2] kóp aǵzalılardı Maqsette kóbeytiw.
Maqsette kóp aǵzalılardı bolıw operatsiyası tómendegi funksiya tiykarında ámelge asıriladı :[a, b]=deconv (p, q), bul jerde p, q -bóliniwshi hám bóliwshi kóp aǵzalılar koefficiyentlerinen shólkemlesken vektorlar, a hám b -bólindi hám qaldıq kóp aǵzalılar koefficiyentleri.
Eger p1, p2 kóp aǵzalılar bolsa, olardı bolıw tómendegishe ámelge asıriladı :[a, b]=deconv (p1, p2), bunda, m  n bolsa, a hám b vektorlar uzınlıqları uyqas túrde [ (m+1)-(n+1) +1] hám (m+1) ga teń,
m  n
bolsa, a dıń uzınlıǵı 0 ge, b dıń uzınlıǵı (mQ1) ga teń ( a - bólindi, b - qaldıq kóp aǵzalılar koefficiyentleri).
Kóp aǵzalılardıń túbirleri s=roots (r) funksiyası arqalı tabıladı, bul jerde r -kóp aǵzalılar koefficiyentleri vektorı, uzınlıǵı (n+1) ga teń; s kóp aǵzalılar túbirleri, uzınlıǵı n ga teń vektor -ústin. Mısal :
P (x)  x2  5 x  6
kóp aǵzalılar túbirlerin tabamız.
Kóp aǵzalılar túbirlerin tabıwǵa teris procedura, yaǵnıy kóp aǵzalılardı qayta tiklew, r=poly (c) funksiyası tiykarında ámelge asıriladı, bul jerde c - kóp aǵzalılar túbirleri vektor -ústin; p - kóp aǵzalılar koefficiyentleri.
Kóp aǵzalılar bahaları y=polyval (r, x) funksiyası tiykarında esaplanadı ; bul jerde, r - kóp aǵzalılar koefficiyentleri vektorı ; x -skalyarvektor yamasa matritsa; y -kóp aǵzalılardıń berilgen x ga uyqas ma`nisi. Mısal : ma`nisin tabıń.
P (x)  4 x3  3 x2  2 x 1
kóp aǵzalılardıń x=0. 75 dagi
Kóp aǵzalılardıń tuwındı dp=polyval (r) funksiyası járdeminde tabıladı, bul jerde r - berilgen kóp aǵzalılar koefficiyentleri vektorı ; dp - kóp aǵzalılar tuwındı koefficiyentleri vektorı.
Approksimatsiya degende bir funksiya (approksimatsiyalanuvchi) ni berilgen bahaları hám málim kriteriy tiykarında basqa eń jaqsı jaqınlashuvchi funksiyaǵa almastırıw túsiniledi.

Injenerlik ámeliyatında ádetde tegis hám orta kvadratik jaqınlasıw kriteriysi qollanıladı.

Interpolyatsiya degende bir funksiyanıń kem sanlı túyin noqatları (interpolyatsiya túyinleri) de berilgen bahalardan paydalanıp, bahaları berilgen funksiyanıń túyin noqatlar daǵı bahaları menen ústpe-úst tushuvchi hám túyin noqatlar arasındaǵı qálegen noqatda funksiyanıń bahaların esaplawǵa múmkinshilik jaratıwshı jaqınlashuvchi polinom menen almastırıw túsiniledi.
Maqsette approksimatsiyalovchi funksiya retinde n - tártipli kóp aǵzalılar, approksimatsiya kriteriysi retinde orta kvadratik chetlanish isletiledi. Approksimatsiyalash funksiyası tómendegi kóriniske iye: r=polyfit (x, y, n), bul jerde: x, y -birdey yamasa túrli qádem degi túyin noqatlar hám sol noqat daǵı berilgen bahalar ; n -approksimatsiyalovchi polinom tártibi; r -approksimatsiyalovchi polinom koefficiyentleri vektorı. Mısal.
y  sin ( x)
x
funksiyanıń birdey qádem degi
túyin noqatlar daǵı bahaları tiykarında 5-tártipli kóp aǵzalılar menen approksimatsiya qılıw.
x=pi/8:pi/8:4*pi; y=sin (x). /x; p=polyfit (x, y, 5); fa=polyval (p, x);
subplot (3, 1, 1:2), plot (x, y, '-o', x, fa, ':*'), grid, hold az waqıt;
error=abs (fa-y); subplot (3, 1, 3), plot (x, error, '--p')
y  sin ( x)
x funksiyań [0. 1;4. 5] aralıqta hár túrlı qádem menen 3-tártipli kóp aǵzalılar menen approksimatsiyasi.
x=[0. 1 0. 3 0. 5 0. 75 0. 9 1. 1 1. 3 1. 7... 2 2. 4 3 3. 1 3. 6 4 4. 1 4. 2 4. 3 4. 5];
y=sin (x). /x; p=polyfit (x, y, 3); fa=polyval (p, x);
subplot (3, 1, 1), plot (x, y, '-o'), grid, title ('y=sin (x) /x'), hold az waqıt;
subplot (3, 1, 2), plot (x, fa, ':*'), grid, title ('polinom'), hold az waqıt; error=abs (fa-y);
subplot (3, 1, 3), plot (x, error, '--p'), grid, title ('Asıpka'), hold az waqıt;
stem (x, error)
Bir ózgeriwshili funksiyalardı interpolyatsiyalash fi  int erp1 (x, y, xi [, ' metod ']) funksiyası arqalı ámelge asıriladı, bul jerde: x - interpolyatsiya túyinleri (teń qádemli, teńmes qádemli); y -interpolyatsiya etiletuǵın funksiya ; xi -túyin hám aralıq noqatlar ; - interpolyatsiyalovchi funksiyalar :
'nearest' - 0-tártipli kóp aǵzalılar ;
'linear' - 1-tártipli kóp aǵzalılar ;
'cubic' - 3-tártipli kóp aǵzalılar ;
'spline' -kubik splayn; fi - interpolyatsiyalovchi funksiya bahaları.
y  sin ( x)
x
funksiyanıń birdey qádem menen kubik kóp aǵzalılar hám kubik splayn tiykarında interpolyatsiyasi. x=pi/8:pi/2:(4*pi+pi/2); y=sin (x). /x; xi=pi/8:pi/16 :(4*pi+pi/16 ); fi1=interp1 (x, y, xi, 'cubic');
plot (x, y, '-o', xi, fi1, ':*'), grid, hold az waqıt legend ('y=sin (x). /x', 'cubic')
figure fi2=interp1 (x, y, xi, 'spline');
plot (x, y, '-o', xi, fi2, ':*'), grid, hold az waqıt legend ('y=sin (x). /x', 'spline')
Primer (interpolyatsiya funktsii kosinusa): x=0:10 ;y=cos (x); xi=0:0. 1:10 ;
yi=interp1 (x, y, xi); plot (x, y, 'x', xi, yi, 'g'), hold az waqıt yi=interp1 (x, y, xi, 'spline'); plot (x, y, 'o', xi, yi, 'm'), grid, hold off Primer:
x=0:10 ; y=3*cos (x); x1=0:0. 1:11;
y1=spline (x, y, x1); plot (x, y, 'o', x1, y1, '—'
Matlab programmasında maǵlıwmatlardı polinomial approksimatsiya qılıw ushın polyfit (x, y, n) procedurasınan paydalanıladı. Bul jerde x - argumentlar vektorı, ol - nátiyjeler vetori hám n - approksimatsiyalovchi polinomnin’ tártibi.
Approksimatsiyalash nátiyjesinde uzınlıǵı (n +1) bolǵan hám approksimatsiyalovchi polinomnin’ koefficiyentlerinen shólkemlesken vektor payda boladı.
Mısal. Tómendegi keste bahaları tiykarında maǵlıwmatlardı 5 - tártipli
polynomial approksimatsiyalan’:

1. 5-keste
Sheshiw. Matlab buyrıqlar aynasında X hám Y dıń bahaların vektor retinde
kiritemiz hám polyfit funksiyasınan paydalanıp, 5 - tártipli polinomnin’
koefficientlerin esaplaymiz

Sonday eken, ızlenip atırǵan 5 - tártipli polinom tómendegi kóriniste boladı :

Eger bul polinom grafigini qurıwshı bolsaq, ol halda stem, polyval hám plot funksiyalarınan paydalanamız (1. 6 -súwret).
Matlab te maǵlıwmatlardı interpolyatsiya qılıw ushın interp1 procedurasınan paydalanıw múmkin. Ulıwma halda oǵan tómendegishe shaqırıq etiledi:
Yi = interp1 (X, Y, Xi, ''),
Bul jerde tórtinshi kirisiw argumenti retinde interpolyatsiya usılı kórsetiledi:
'nearest' - teksheli;
'linear' - sızıqlı ;
'cubic' - kubik;
'spline' - kubik splaynlar.
Eger usıl kórsetilmasa únsizlik boyınsha sızıqlı interpolyatsiya ámelge
asıriladı.

Mısal. 1. 5-keste bahaları tiykarında maǵlıwmatlardı túrli usıllarda interpolyasiyalan’.
Sheshiw. Matlab buyrıqlar aynasında interp1 hám plot funksiyalarınan paydalanıp, interpolyasiya sızıqların quramız

Eger tuwrınan - tuwrı interpolyatsion kóp aǵzalıların anıqlaw talap etilse, ol halda maple ('interp', ('[Xi],[Yi]'), x) funksiyasınan paydalanıladı.
Bul jerde diskret funksiya grafigini stem funksiyası járdeminde, maple funksiyası ma`nisi boyınsha anıqlanǵan interpolyasiya sızıǵın ezplot funksiyası menen qurıw múmkin.
Mısal. Tómendegi kestede berilgen maǵlıwmatlar boyınsha interpolyasiya kóp aǵzalıların anıqlań jáne onıń grafigini qurin’:

Sheshiw. Joqarıda aytıp ótkenimizdek, syms, maple, stem, ezplot funksiyalarınan paydalanamız hám inerpolyasiya kóp aǵzalıları jáne onıń grafigini quramız

Paydalanilg’an a’debiyatlar

1. 
   T. Dadajonov va M.Muhitdinov. Matlab asoslari: Toshkent – 2007 yil.
   
2. 
   MATLAB 7.*/R2006/R2007 o’quv qo’llanma.:M.2008
   
3. 
   Mathematica. Wolfram, Stephen, 1959Dyakonov V. P., Abramyenkova I. V., Kruglov V. V. MATLAB 5 s pakyetami rasshiryeniy. – M.: Nolidj, 2001.
   
4. 
   Dyakonov V. P. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6 v. Obrabotka signalov I proyektirovaniye filtrov. – M.: Solon_R, 2005.
   
5. 
   Dyakonov V. P. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6 v. Rabota s izobrajye_ niyami i vidyeopotokami. – M.: Solon_R, 2005.