Bahalaw teoriyasi (noqat bahası hám onıń ózgeshelikleri)

Bahalaw teoriyasi
(noqat bahası hám onıń ózgeshelikleri).

1. 
   Statistikalıq bahalar hám olardıń ózgeshelikleri
   
2. 
   Noqatlıq bahalaw usullari
   
3. 
   Interval bahalaw
   

Ádebiyatlar

Shama menen oylayıq, bólistiriw funksiyası belgisiz parametr Ó ga baylanıslı bolǵan t. m. X berilgen bolsın. Basqasha etip aytqanda, kuzatilayotgan t. m. Xning bólistiriw funksiyası f (x, Ó) bir parametrli parametrik bólistiriw funksiyalar shańaraǵına tiyisli bolsın. Endi tájiriybe nátiyjesinde alınǵan maǵlıwmatlar járdeminde belgisiz parametr Ó ni “qayta tiklew”, yaǵnıy málim mániste oǵan jaqın bolǵan hám tájiriybeler tiykarında tolıq tiklenetuǵın qandayda - bir muǵdardı dúziw máselesin kóreylik. Ó arqalı Ó dıń bahaları kompleksin belgileymiz.

Shama menen oylayıq, (X1,.. ., Xn) X t. m. dıń kolemi n ga teń bolǵan tańlanmasi bolsın.
Z X1,.., Xn kuzatilmalarning qálegen Tn = T (X1,.. ., Xn) funksiyası
statistika dep ataladı.
Tariypdan kelip shıǵadıki, statistika tek gúzetilbelerge baylanıslı bolǵan tosınarlı muǵdar bolıp, ol tájiriybe nátiyjesinde tolıq anıqlanadı.
Z Eger Tn yeÓ bolsa, ol halda Tn statistika noma'lun parametr Ó ushın baha dep ataladı.
Tariypdan kelip shıǵadıki, bir parametr ushın bir neshe statistikalıq baha usınıs etiliwi múmkin. Sol sebepli, statistikalıq bahalardan málim mániste “jaqsı” ózgesheliklerge ıyelewleri talap etiledi. Ádetde hár qanday statistikalıq bahalardıń tómendegi ózgesheliklerge ıyelewligi maqsetke muwapıq bolıp tabıladı.
Jıljımaǵan baha
Z Egerde statistikalıq bahoning matematikalıq kutilmasi belgisiz parametrge teń, yaǵnıy
MT = MT (X}„.., X„) = Ó (7. 1. 1)
bolsa, statistikalıq baha jıljımaǵan baha dep ataladı.
Eger statistikalıq baha Tn = T (X1,.. ., Xn) ushın b = MT (X1,.., X„)-#*0 bolsa, ol jıljıǵan baha dep ataladı hám b-jılısıw úlkenligi boladı.
Belgisiz parametr Ó Xt. m. dıń matematikalıq kutilmasi hám X1,.., xn lar oǵan uyqas gúzetilbeler bolsın. Tómendegi statistikanı kiritemiz
T (X1,.. ., Xa) xa, X-1 +... + ■.
Bul jerde a1,.. ., an -lar a1 +... + an = 1 teńlikti qánaatlantıratuǵın ózgermeytuǵın sanlar. MX = Ó hám sonday eken, MXx =... MXn = Ó matematikalıq kutilmani esaplaw qaǵıydasınan
MT ( Xi,.. ., XM = M ( ai Xi +... +anXn ) = afi+... +afl = ( a +... +an ) Ó = Ó
(7. 1. 3)
iye bolamız. Bul teńlikten (7. 1. 2) statistikanıń belgisiz Ó parametr ushın jıljımaǵan baha ekenligi kelip shıǵadı. Atap aytqanda, ai=i, a2=... =an =0 bolsa (7. 1. 2) den T (X,.. ., x,) =X1 statistikaǵa, egerde a1 =... = an =1 bolsa T (X,.. ., X4) = x statistikaǵa iye bolamız. (7. 1. 3) munasábet a1 +... + an = 1 teńlik atqarılatuǵın qálegen a1,.. ., an lar ushın tuwrı bolǵanlıǵınan x, hám x statistikalar da belgisiz Ó parametr ushın jıljımaǵan baha ekenligi kelip shıǵadı. Sonday eken, bir parametr ushın bir neshe jıljımaǵan baha dúziw múmkin eken. Bul juwmaqtan, tábiyiy, jıljımaǵan bahalardı salıstırıwlaw zárúriyatı kelip shıǵadı.
Optimal baha
Belgisiz parametr Ó ushın jıljımaǵan bahalar kompleksin Ol menen belgileylik. Aldınǵı baplardan ekenin aytıw kerek, t. m. dispersiyasi sol t. m. dıń bahaları onıń matematikalıq kutilmasi átirapında qanshellilik tıǵız yamasa tarqaq jaylasqanlıǵınıń kriteryası boladı. Sol sebepli, tábiyiy, jıljımaǵan bahalardı olardıń dispersiyasiga kóre salıstırıwlaymız.
Shama menen oylayıq, T (X,.. ., Xn) hám T (X,.. ., x„) lar belgisiz Ó parametr ushın jıljımaǵan bahalar bolsın, T (X,.. ., Xn) eOl hám T2 (X,.. ., Xn) eOl. Egerde sol statistikalar ushın
DT1 ( X!,.. ., x„) < DT2 ( X1,.. ., Xn)
munasábet atqarılsa, T1 (X1,.. ., l;) baha T2 (X1,.. ., l;) bahodan anıqlaw baha dep ataladı.
Sonday eken, bir parametr ushın bir neshe jıljımaǵan bahalar ámeldegi bolsa, onıń statistikalıq bahası retinde anıqlaw bahoni qabıllaw maqsetke muwapıq boladı. Joqarıda biz belgisiz matematikalıq kutilma Ó ushın eki jıljımaǵan Xt hám x -lardan ibarat bolǵan bahalardı kórdik. Endi olardı salıstırıwlaylik. Dispersiyani esaplaw qaǵıydasına tiykarlanıp :
Dx = D1 O'x< = 1^ YDx, =1 DX
n І=1 n, =1 n
hám D\\ = DX boladı.joqarıda keltirilgen salıstırıwlaw qaǵıydasına muwapıq, kórinip turıptı, olda x baha X bahoga salıstırǵanda anıqlaw boladı.
J Agar inf DT (X„..., x) =£>G (x,.. ., X) T (Xi,.. ., x) € i bolsa,
T* (X,.. ., X)- statistikalıq baha optimal baha dep ataladı.
Kórsetiw múmkin x statistika belgisiz matematikalıq kutilma Ó ushın barlıq jıljımaǵan sızıqlı bahalar ishinde eń anıq (optimal ) batır.
Tıyanaqlı baha
J Egerde n sheksizlikke intilganda T (X,-••>X) statistika itimal boyınsha belgisiz parametr Ó ga jaqınlashsa, yaǵnıy qálegen kishi s>0 san ushın
limP {\T (Xi,.. ., Xn)-tf|munasábet orınlı bolsa, ol halda T (X1,.., X) statistikalıq baha tıyanaqlı baha dep ataladı.
Sonday eken, tıyanaqlı baha T (X, •••, X) tájiriybeler sanı artıp barǵanında belgisiz Ó parametrge itimal boyınsha jaqınlashar eken. Ádetde hár qanday statistikalıq bahodan tıyanaqlı bolıw talap etiledi. Matematikalıq ststistikada tıyanaqlı bolmaǵan bahalar úyrenilmaydi.
7. 1 - mısal. Tańlanma orta baha x belgisiz matematikalıq qurılma MX =Ó ga tıyanaqlı baha ekenligin kórsetiń.
Chebishev teńsizligine hám (7. 1. 3) munasábetke qálegen kishi s>0 san ushın
D - D D D xD~x DX
P {x - Ó >s} <—=—.
s2 ns2 
Aqırǵı teńsizlikte dispersiya chekli bolsa, n ^da de limitga ótsek, haqıyqattan da x statistikanıń tıyanaqlı baholigi kelip shıǵadı.
Ulıwma, qálegen jıljımaǵan baha T (Xt,.. ., X,) dıń belgisiz Ó parametrge tıyanaqlı baha bolıwlıq shártini keltiremiz.
Teorema. Eger T = T (X,.. ., x) statistika Ó parametr ushın jıljımaǵan baha bolıp, n ^x onıń dispersiyasi DTn ^ 0 bolsa, ol halda ol tıyanaqlı baha boladı.
Tastıyıq. T (X,.. ., X) statistika jıljımaǵan baha bolǵanı ushın MT (X, •••, X) =Ó. Ol halda qálegen s>0 ushın Chebishev teńsizliginen tómendegi teńsizlikti jaza alamız :
(7. 1. 5)
shártga kóre, qálegen tayınlanǵan s >0 ushın n ^da de (7. 1. 5) teńsizlikten T (X,.. ., X) statistikanıń tıyanaqlı baha ekenligi kelip shıǵadı.
7. 2 Noqatlıq bahalaw usılları
Biz aldınǵı paragraflarda statistikalıq bahalar hám olardıń ózgeshelikleri menen tanıstık. Statistikalıq bahalar qanday tabıladı? Mine sol sorawǵa juwap beremiz. Statistikalıq bahalar dúziwdiń eki usılın kórip shıǵamız.
I. Momentler usılı
Shama menen oylayıq, X gúzetilbeleri X1,.. ., Xn lardan ibarat hám bólistiriw funksiyasiF (xÓ} belgisiz parametr Ó = (Ó,.. ., Ó) ga baylanıslı bolǵan t. m. bolsın. Birinshi bapta tańlanma momentler túsiniklerin kirgizdik hám olardıń ayırım ózgeshelikleri menen tanıstık. Atap aytqanda, KSQ ga tiykarlanıp tańlanma momentler tájiriybeler sanı úlken bolǵanında teoriyalıq momentlerge qálegenshe jaqın bolıwlıǵın bildik. Momentler usılı tiykarında mine sol jaqınlıq ideyası jatadı.
Shama menen oylayıq X tosınarlı muǵdardıń birinshi r ta ak - MXk, k -1,.. ., r momentleri ámeldegi bolsın. Tuwrısıda, ular belgisiz Ó
n
parametrdiń ak - ak (Ó) funksiyalari boladılar. Ak - X Xk, k — 1,-”, r,
i-1
tańlanma momentlerin uyqas túrde ak, k-1,.. ., r, larda teńlestirip r ta teńlemeler sistemasın tuzib alamız :
^ (Ó) - Ani,
a2 (Ó) - An2,
(7. 2. 1)
[ar (Ó) - Anr.
Mine sol teńlemeler sistemasın Ó1,.. ., ÓG larga salıstırǵanda sheship, Ók -Ók (Xi,.. ., X,) D- 1,.. ., r sheshimlerge iye bolamız. Sonday tabılǵan Ók, k-1,.. ., r statistikalar momentler usılı menen belgisiz Ó, k-1,.. ., r paramertlar ushın dúzilgen statistikalıq bahalar b o'ladi.
7. 2 - mısal. Matematikalıq kutilmasi hám dispersiyasi no'malum bolǵan,
(x-Ó1) 2
1 1 1. 1 1 1 2Ó,. ■... ..
tıǵızlıq funksiyası f (x, Ó) - e bo lgan normal nızamdı qaraylıq.
Belgisiz Ó hám Ó parametrlerdi momentler usılında bahalaylik. Bul halda (7. 2. 1) teńlemeler tómendegi kóriniste boladı
Ó1 - Ani hám Ó2 + Ó12 - An2.
Nátiyjede momentler usılı menen dúzilgen statistikalıq bahalar
1 n 1 n
ó, =-Xx, =x, S-S-^X,-XY -S2
n i-1 n i=1
kóriniste boladı.
Momentler usılı menen tabılǵan statistikalıq bahalar ayırım jaǵdaylarda jıljımaǵan, tıyanaqlı hám eń anıq bahalar boladı.
II. Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılı
Gúzetilbeleri X1,.. ., Xn lardan hám ulıwmalasqan tıǵızlıq funksiyası p (x, Ó) den ibarat X t. m. ni alaylıq. Eger X diskret t. m. bolsa, p (x, Ó) - P{X - x;Ó} itimallıqlardan, X úzliksiz t. m. bolǵan halda bolsa 
p (x, Ó) = f (x;Ó) tıǵızlıq funksiyadan ibarat boladı. Tómendegi funksiyaǵa L (x1,.. ., xn, Ó) = p (x1, Ó) •... • p (xn, Ó) haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyası dep ataladı. Shama menen oylayıq, L (x1,.. ., xn, Ó) funksiya ÓeÓ jabıq tarawda qandayda bir Ó* noqatda eń úlken mániske eriwsin:
L (x1,.. ., xn, Ó*) = maxL (x1,.. ., xn, Ó).
ÓeÓ
Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyası eń úlken mániske erisetuǵın Ó* baha belgisiz Ó parametr ushın haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılı menen dúzilgen statistikalıq bahalar dep ataladı. Olardı tómendegi teńlemelr sistemasınan da tabıw múmkin:
(7. 2. (2) tenglamalar sisteması haqıyqatqa maksimal uqsawlıq teńlemelri dep ataladı.
Kóp ollarda (7. 2. 2) teńlemeler sisteması ornına tómendegi
teńlemer sistemasın sheshiw qolay boladı :
Haqıyqatqa maksimal uqsawlıq funksiyasın dúzemiz:
(X<-Ó1)
n n 1
xn, ff) = P f (X, Ó) = P TTT e " 2
i=1 i=1 'U2^Ó2
n
X (Xi-Ó1) ■ ■
i=1
Bunnan 

Kórinistegi statistikalıq bahalardı tabamız.

Sonday eken, normal nızam ushın momentler hám haqıyqatqa maksimal uqsawlıq usılları menen dúzilgen statistikalıq bahalar áyne birdey eken.
7. 3 Interval bahalaw
Isenimlilik aralıǵı
Aldınǵı paragraflarda biz belgisiz parametrlerdiń noqatlıq statistikalıq bahaları menen tanıstık. Dúzilgen noqatlıq bahalar tańlanmaning anıq funksiyaları bolǵan t. m. bolıp, olar belgisiz parametrlerdiń túp ma`nisine jaqın bolǵan noqattı anıqlap beredi tek. Kóp máselelerde belgisiz parametrlerdi statistikalıq bahalaw menen birgelikte bul bahoning anıqlıǵın, isenimliligin tabıw talap etiledi. Matematikalıq statistikada statistikalıq bahalardıń anıqlıǵın tabıw isenimlilik aralıǵı hám oǵan uyqas isenimlilik itimallıǵı arqalı sheshiledi.
Shama menen oylayıq, tańlanma járdeminde belgisiz Ó parametr ushın jıljımaǵan T (X,.. ., x„) baha dúzilgen bolsın. Tuwrısıda| T (X,.. ., _Y„) - Ó| ańlatpa belgisiz Ó parametr bahosining anıqlıq dárejesin belgileydi. T (X,.. ., x„) statistik bahoning belgisiz Ó parametrge qanshellilik
jaqınlıǵın anıqlaw máselesi qóyılsin. Aldınan qandayda -bir v (0P{| T (X,,..., x.) - Ó| munasábet orınlı balatuǵın S >0 sanın tabıw kerek bolsın. Bul munasábetti basqa kóriniste jazamız
P{ T (X,,..., x,,)-S < Ó< T (X,,..., x.) +S }=v (7. 3. 1)
(7. 3. (1) tenglik belgisiz Ó parametrdiń ma`nisi v itimallıq menen
yev = ( T (X,,..., x„) —S ; T (X,,..., x„) +S ) (7. 3. 2)
aralıqta ekenligin ańlatadı.
Sonı da aytıw kerek, (7. 3. 2) dagi yev - aralıq tosınarlı muǵdarlardan ibarat shegaralarǵa iye. Sol sebepli, v - itimallıqtı belgisiz Ó parametrdiń anıq ma`nisi yev - aralıqta jatıw múmkinshiligı emes al, bálki ee - aralıq Ó noqattı óz ishine alıw múmkinshiligı dep aytıw tuwrı boladı (37 - súwret).
ev
T (X,,..., xny S Ó T (X,,..., xn) +S
37 - súwret.
J Sonday eken, anıqlanǵan yev aralıǵı isenimlilik aralıǵı, v - itimal bolsa isenimlilik múmkinshiligı dep ataladı.
Matematikalıq kutilma ushın isenimlilik aralıǵı
Shama menen oylayıq, X tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilmasi Ó hám dispersiyasi o 2 bolsın. Belgisiz Ó - parametr ushın isenimlilik múmkinshiligı v — ga teń bolǵan yev - isenimlilik aralıǵın dúziw máselesin qaraylıq.
X1,.. ., Xn - kólemi n - ga teń bolǵan tańlanma hám oǵan uyqas tańlanma orta ma`nisi hám dispersiyasini dúzeylik:
n
=1 £ (Xt - x) 2.
n, =1
Eskertip ótemiz, x - birdey bólistirilgen, baylanıslısız tosınarlı muǵdarlar jıyındısidantuzilgan bolıp tabıladı. Sol sebepli, oraylıq limit teoremaga tiykarlanıp onıń bólistiriw funksiyası normal nızamǵa jaqın bolıp tabıladı. x dıń matematikalıq kutilmasini hám dispersiyasini esaplaymiz:
- - Mx = Ó, Dx = —
n
Endi d v >0 sannı sonday tapaylikki, ol ushın tómendegi munasábet orınlı bolsın :
Pjx -a\ < dp}= p. (7. 3. 3)
x - t. m. dıń bólistiriw funksiyası normal nızamǵa jaqınlıǵın esapqa alıp, (7. 3. 3) - teńsizliktiń oń tárepdegi v - sanın Laplas funksiyası menen baylanıstırymiz:
(7. 3. 4)
orta kvadratik chetlanish.
Laplas funksiyasınıń F (-x) = 1- F (x) ózgesheligin inabatqa alsaq, (7. 3. 4) - teńlikti tómendegishe jazıw múmkin:
(7. 3. 3) hám (7. 3. 5) teńliklerden tómendegin payda etemiz:
( dp
I axv2 )
Aqırǵı teńlikten de ni anıqlaymız:
dp = ax T2 F-1
(7. 3. 6 )
Bul jerde F—1 (-) arqalı Laplas funksiyasına teris funksiyanı belgiledik. (7. 3. 6 ) - teńlik menen anıqlanǵan da - sanı belgisiz ax muǵdar arqalı jazıladı. Jetkilikli úlken n lar ushın tańlanma dispersiya S2 ■ S ■ •, S •, •. ES7.
teoriyalıq dispersiyaga jaqın bo lgani ushın ax ni shama menen * — ga teń
v n deyiw múmkin, yaǵnıy
Sonday etip, belgisiz orta baha Ó - ushın v - isenimlilik múmkinshiligına teń ep - isenimlilik aralıǵı
ep= (x - dp, x + dp )
(7. 3. 7)
ga teń boladı. Bul jerde dp =
2 S2
F-1 (p).
i Xi i Xi
1 10. 9 11 10. 8
2 10. 7 12 10. 3
3 11. 0 13 10. 5
4 10. 5 14 10. 8
5 10. 6 15 10. 9
6 10. 4 16 10. 6
7 11. 3 17 11. 3
8 10. 8 18 10. 8
9 11. 2 19 10. 9
10 10. 9 20 10. 7

P n
7. 4 -mısal. X t. m. dıń tájiriybe nátiyjesinde 20 ta ma`nisi alındı.

X t. m. dıń matematikalıq kutilmasi Ó ushın v = 0. 86 isenimlilik múmkinshiligına uyqas keliwshi isenimlilk aralıǵın dúziń.
Tańlanma orta baha hám dispersiyani tabamız.
_ 1 20
X = — Ol X = 10. 78 ; S2
20 £ i ;
S2
CT= =. = 0. 0564
x n n
(7. 3. (7) formula boyınsha isenimlilik aralıǵın dúzemiz:
5 p = 0. 0564 l/2 F-1 (0. 86 ) = 0. 083 hám x - dp = 10. 78 - 0. 083 «10. 70;
x + dp = 10. 78 + 0. 083 « 10. 86, ol halda isenimlilk aralıǵı yev= (10. 70; 10. 86 ) eken.
Normal bólistiriw matematikalıq kutilmasi ushın isenimlilik
aralıǵı. Styudent bólistiriwi
Aldınǵı paragraflarda biz bólistiriwi funksiyası qálegen bolǵan t. m. matematikalıq kutilmasi ushın ámeliy isenimlilik aralıǵı tuzdik. Egerde tańlanma orta ma`nisiniń bólistiriwi málim bolsa, anıq isenimlilik aralıǵın dúziw múmkin.
Shama menen oylayıq, X1,.. ., Xn lar matematikalıq kutilmasi Ó hám dispersiyasi a2 bolǵan normal nızam boyınsha bólistirilgen X t. m. dıń tájiriybeler nátiyjesinde alınǵan kólemi n - ga teń bolǵan tańlanmasi bolsın.
Tómendegi statistikanı kiritemiz:
(7. 3. 8)
Bul jerde,

Teorema. EgerdeX1, X2,.. ., Xn- baylanıslısız hám (Ó, a2) parametrli normal nızam boyınsha bólistiril statistikalıq tańlanma bolsa, ol halda t - statistika erkinlik dárejesi n-1 ge teń bolǵan Styudent bólistiriwine iye boladı.

rf n }
12 )

d/ya ( n -1) G
gamma funksiya joqarıdaǵı formuladan k orınıp
turıptı, olda, Styudent bólistiriwi x hám S statistikalarǵa baylanıslı bolmay, tek gúzetilbeler kólemi n ga baylanıslı.
Endi Styudent bólistiriwiniń isenimlilik aralıǵı qurıwǵa nátiyjeni ámelde qollanıwın kóreylik.
Normal nızam boyıch bólistirilgen X t. m. dıń tájiriybeler nátiyjesinde Xt,.. ., xn bahaları tabılǵan bolsın. Bular tiykarında x hám S statistikalardı esaplaymiz. T. m. belgisiz matematikalıq kutilmasi Ó - ushın isenimlilik múmkinshiligı v (0Tómendegi itimaldı kóreylik:
P {I x-Q < S„}= P.
Bul teńliktiń shep tárepinde x t. m. den t - statistikaǵa ótemiz.
Onıń ushın| x -^ < 8? tengsizlikning eki tárepini nO- ga
pS
kópaytiramiz. Ol halda,
P
teńlik payda boladı. (7. 3. 8) formuladan paydalansak,
munasábetke kelamiz.
Styudent bólistiriwi tıǵızlıq funksiyasınıń juftligidan paydalanıp tómendegin payda etemiz: 

Endi (7. 3. 9 ) teńlikten tp ni tabıwıniz múmkin. Styudent bólistiriwi bahaları kesteden paydalanıp, isenimlilik múmkinshiligı v hám erkinlik dárejesi n-1 ge uyqas tp ni anıqlaymız:

5 n = t
Bul bolsa ep isenimlilik aralıǵı uzınlıǵınıń yarımına teń Sonday eken,
_ S _ S ]
x - tp “/=, x + tp~r
Pp Pp,
7. 5 - mısal. (Ó, a 2) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen X t. m. dıń 10 baylanıslısız tájiriybeler nátiyjesinde tómendegi bahaları tapildi:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 2. 5 2 -2. 3 1. 9 -2. 1 2. 4 2. 3 -2. 5 1. 5 -1. 7

matematikalıq kutilma Ó ushın isenimlilik múmkinshiligı p = 0. 95 bolǵan ep - isenimlilik aralıǵın tabıń.

Tańlanmaning orta ma`nisi hám dispersiyasini tabamız :
Kesteden erkinlik dárejesi n-1=9 hám itimallıq p = 0. 95 boyınsha Styudent bólistiriwiniń (1-tp) - kvantilini tabamız tp=2. 26. Sonday eken,. S.
3 = t -=* 1. 58
Pp
hám ızlenip atırǵan isenimlilik aralıǵı ee= (x - 3 p, x + 3 p) = (-1. 18; 1. 98)
kóriniste bo'lar eken.

Ádebiyatlar

1. Abdushukurov A. A. Xi-kvadrat kriteriysi: teoriyası hám qollanıwı, O'zMU, 2006.
2. Abdushukurov A. A., Azlarov T. A., Djamirzayev A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan mısal hám máseleler kompleksi. Tashkent «Universitet», 2003.
3. Azlarov T. A., Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan Anglichan-orıssha -ózbekshe sózlik. Tashkent: «Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası. Lekciyalar teksti. Tashkent: «Universitet», 2000.
5. Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teoriya veroyatnostey. Matematicheskaya statistika.- 2-ye izd.- M.: FIZMATLIT, 2005.
6. Vatutin V. A., Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I., Shistyakov V. P. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika v zadachax M.: 2003.
7. Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Matematicheskaya statistika. M.: Visshaya shkola, 1984.
8. Kibzun A. I., Goryainova Ye. R., Naumov A. V., Sirotin A. N. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. Bazoviy kurs s primerami i zadachami / Uchebn.posobie.- M.: FIZMATLIT, 2002.
9. Kibzun A. I., Pankov A. R., Sirotin A. N. Uchebnoe posobie po teorii veroyatnostey. — M.: Izd-vo MAI, 1993.
10. Korshunov D. A., Shernova N. I. Sbornik zadach po matematicheskoy statistikalıqe: uchebnoe posobie. 2-ye izd., ispr.-Novosibirsk, izd-vo Instituta matematikalıqı, 2004.