Bajariladigan amallar

3-misol. Ixtiyoriy A, V, S to‘plamlar uchun ushbu

munosabatning to‘g‘ri ekanligini isbotlang.

A) ixtiyoriy bo‘lsin, bundan x Shunday qilib, x, bulardan va to‘g‘ri ko‘paytmaning ta’rifidan

Demak, , ya’ni

b) ixtiyoriy bo‘lsin. Bundan

. To‘g‘ri ko‘paytmaning ta’rifidan

bulardan ,

(2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

2-Ma’ruza.

AKSLANTIRIShLAR. BINAR VA UNAR MUNOSABATLAR

A va V bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar bo‘lsin.

Ta’rif. Agar biror f qoidaga muvofiq A to‘plamning har bir x elementiga V to‘plamning biror u elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, bu f qoidaga aks ettirish (akslanish, akslantirish, funksiya) deyiladi va f:A->B yoki u = f(x) bilan belgilanadi.

Hayotda, texnikada va boshqa fanlarda odatda f:A->B aks ettirishlar A to‘plam elementlarining ma’lum xossasini belgilovchi kattalik sifatida uchraydi. Masalan, A biror shahardagi odamlar to‘plami bo‘lsin. U holda a  A uchun f(a) deb a odamning bo‘yi uzunligini olamiz. Natijada f: A -> R aks ettirish hosil bo‘ladi.

Umuman, biror f: A -> V aks ettirish qaralsa, uni A to‘plam elementlarining biror f xossasi deb tushunish mumkin.

A to‘plam f aks ettirishning aniqlanish sohasi, B to‘plam esa qiymatlar sohasi deyiladi. Bu f akslanishdagi u element x elementning— tasviri (obrazi), x element esa u elementning f — asl obrazi deyiladi.

Agar u  V berilgan bo‘lsa, u holda uning barcha f - asl obrazlaridan iborat to‘plam uning f - asl obrazi deyiladi va f^-1(u) orqali belgilanadi.

Ushbu f(A) = {u  V | biror x  A uchun u = f(x) } to‘plam, ya’ni x element A to‘plamda o‘zgarganda f(x) ning qabul qilgan barcha qiymatlaridan iborat to‘plam A to‘plamning f— obrazi deyiladi. Ravshanki f(A)  V.

Masalan, f:R->R — funksiya f(x) = x² qoida bo‘yicha har bir haqiqiy songa uning kvadratini mos qo‘ygan bo‘lsa, u holda f(R) manfiy bo‘lmagan haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat.

Agar f: A -> B aks ettirish uchun shunday b₀  V element mavjud bo‘lsaki, barcha x  A elementlar uchun f(x) = b₀ bo‘lsa, uni o‘zgarmas aks ettirish (funksiya) deyiladi. Uning uchun f ^–1(b) = A va boshqa har qanday b  V uchun f ^–1(b = .

Ta’rif. Agar f: A -> V va g:A -> V aks ettirishlar har bir x  A uchun f(x) = g(x) tenglikni qanoatlantirsa, ular teng deyiladi va bu munosabat f = g ko‘rinishda yoziladi.

Berilgan A va V to‘plamlar uchun barcha f: A -> V aks ettirishlardan iborat to‘plamni V^A orqali belgilaymiz.

A₁ to‘plam A ning biror qism to‘plami bo‘lsin. Har bir x  A₁ uchun f₁(x) = f(x) tenglik bilan aniqlangan f₁:A₁ -> V aks ettirish f aks ettirishning torayishi, f aks ettirish esa f₁ aks ettirishning kengayishi (davomi) deyiladi.

Ta’rif. Agar f: A ->B aks ettirish uchun xar bir u  V element A to‘plamda kamida bir f — asl obrazga ega bo‘lsa bunday aks ettirish syur’eksiya deyiladi.

Ta’rif. Agar f: A -> V aks ettirish uchun xar bir u  V element bittadan ortiq f — asl obrazga ega bo‘lmasa (ya’ni A da yotuvchi x₁, x₂ elementlar uchun f(x₁) = f(x₂) tenglikdan x₁ = x₂ tenglik kelib chiqsa), bunday aks ettirish in’eksiya deyiladi.