Bajariladigan amallar

1-Ma’ruza.

KIRISh. TO‘PLAM VA TO‘PLAM USTIDA

BAJARILADIGAN AMALLAR
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan bo‘lib, u ta’rifsiz qabul qilinadi. To‘plamni tashkil qiluvchi ob’ektlar uning elementlari deyiladi. To‘plamlarni A,B,C,….,X,Y,Z,... harflari bilan, uning elementlarini esa a,b,c,…,x,y,z,… harflari bilan belgilanadi. Biror ob’ekt to‘plamning elementi ekanligi to‘plamga tegishli ekanligini bildiradi va quyidagicha yoziladi: va element to‘plamga tegishli, shuningdek “ ning elementi” deb o‘qiladi. Agar ob’ekt to‘plamga tegishli bo‘lmasa, uni simvolik ravishda ko‘rinishda yoziladi.

Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va u kabi belgilanadi.

Agar A to‘plamning hamma elementlari V to‘plamga tegishli bo‘lsa, A to‘plam V to‘plamning qism to‘plami deyiladi. Buni kabi yoziladi va “ A to‘plam V to‘plamning qism to‘plami” deb o‘qiladi.

Agar bir paytning o‘zida va bo‘lsa, A va V to‘plamlar teng deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. Bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy A to‘plam kamida ikkita qism to‘plamga ega: bo‘sh to‘plam va A to‘plamning o‘zi, ya’ni Ø. Agar berilgan A to‘plam biror xossaga ega bo‘lsa, u to‘plamni

ko‘rinishda yozamiz. Bu holda xossa to‘plamni xarakteristik xossasi deyiladi.

Masalan: 1)

.

2) agar A hamma juft natural sonlarning to‘plami bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.

A va V to‘plamlardan hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli bo‘lgan elementlardan tashkil topgan S to‘plamga A va V to‘plamlarning yig‘indisi (birlashmasi) deyiladi va (yoki ) ko‘rinishda belgilanadi. A va V larni qo‘shiluvchi to‘plamlar, S to‘plam esa yig‘indi to‘plam deyiladi.

 to‘plamlarning to‘plami “to‘plamlar sistemasi ” deyiladi, bu yerda ixtiyoriy tabiatli  elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami.

Qo‘shiluvchilar soni ikkitadan ko‘p bo‘lganda ham to‘plamlarni qo‘shishning yuqoridagi ta’rifi o‘z kuchida qoladi, ya’ni  to‘plamlar sistemasiga kiruvchi to‘plamlarning yig‘indisi deb, sistemadagi to‘plamlardan hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli bo‘lgan elementlarning S to‘plamiga aytiladi va

ko‘rinishda belgilanadi. Agar

bo‘lsa ,yig‘indi to‘plamni

yoki

ko‘rinishda , agar

ko‘rinishda bo‘lsa,

yoki

ko‘rinishda belgilanadi.

Bir vaqtda ham A to‘plamga, ham V to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlarning S to‘plamini A va V to‘plamlarning ko‘paytmasi (kesishmasi) deyiladi va  (yoki ) ko‘rinishida belgilanadi. A va V larni ko‘paytuvchi to‘plamlar, S ni ko‘paytma (kesishma) to‘plam deyiladi. To‘plamlar ko‘paytmasining bu ta’rifi ko‘paytuvchilarning soni ikkitadan ko‘p bo‘lganda ham o‘rinli, ya’ni  sistemaga kiruvchi hamma () to‘plamlarning har biriga bir vaqtda tegishli elementlarning S to‘plami  to‘plamlarning ko‘paytmasi deyiladi va



ko‘rinishda belgilanadi.  sistema )

ko‘rinishga ega bo‘lsa, u sistemaga kiruvchi to‘plamlarning ko‘paytmasi

ko‘rinishda belgilanadi. To‘plamlarni yig‘indisi va ko‘paytmasi quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. 
   ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   ,
   
4. 
   .
   

A to‘plamning V to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlarining S to‘plamini A to‘plamdan V to‘plamni ayirmasi deyiladi va

ko‘rinishda belgilanadi.

A va V to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ushbu to‘plamga aytiladi va ko‘rinishda belgilanadi.

Bundan keyingi mulohazalarda qaraladigan to‘plamlar tayin bir to‘plamning qism to‘plamlari deb faraz qilinadi. Bunday to‘plamni biz universal to‘plam deb ataymiz va uni X harfi bilan belgilaymiz. Umuman aytganda, har bir qaralayotgan masala uchun o‘zining universal to‘plami bo‘ladi. X ixtiyoriy universal to‘plam bo‘lib, A uning biror qism to‘plami bo‘lsin(A⊂X). X to‘plamning a ga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plami A ning X ga qadar to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va uni ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni agar A⊂X, VX bo‘lsa,

ayniyatlar o‘rinli. Bu ayniyatlarni ikkilik qonuni deb ataladi.

1-misol. Agar bo‘lsa, A to‘plamga tegishli bo‘lgan 4 ta elementni va tegishli bo‘lmagan 3 ta elementni yozing.

n=1, k=4

ifoda 3, 6, 8 ga teng bo‘ladigan n natural son mavjud emas. Shuning uchun 3, 6, 8, 5, 7, 29, 41 .

2-misol. Quyidagi ko‘paytirish amalining ayirish amaliga nisbatan distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni



ixtiyoriy element bo‘lsin, bundan va . bo‘lgani uchun ayirish amalinig ta’rifiga ko‘ra . Shunday qilib, demak, ammo Oxirgi munosabatlardan , demak

Endi

ekanligini ko‘rsatamiz. ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda

va va bundan .

Shu bilan (3) munosabatni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikni to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi.

TO‘PLAMLARNING TO‘G‘RI KO‘PAYTMASI.

to‘plamlarning to‘g‘ri yoki dekart ko‘paytmasi deb ko‘rinishdagi hamma tartiblashgan liklarning to‘plamini aytiladi va bu to‘g‘ri yoki dekart ko‘paytmani ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni

n ixtiyoriy natural son.

Agar va to‘g‘ri ko‘paytmaning ixtiyoriy ikkita elementlari bo‘lib, bo‘lsa, va liklarni teng deyiladi va Ko‘rinishda belgilanadi.

Xususiy holda bo‘lsa, to‘g‘ri ko‘paytmani ko‘rinishda yozishga shartlashamiz: to‘plamni A to‘plamning Dekart ko‘paytmasi deyiladi.

1-misol. berilgan bo‘lsa, AV,VA, AA, VV larni toping.

AV

VA=

AA=

VV =

2-misol. lar berilgan bo‘lsa, AV,VA larni toping.

AV

VA

AV to‘plam elementlarini birinchi koordinatalarini (A ning elementlarini) Oxo‘qida, ikkinchi koordinatalarini (V ning elementlarini) Ou o‘qida tasvirlaymiz. Bu nuqtalardan, mos ravishda , Ox, Ou o‘qlariga perpendikulyar chiqaramiz. Bu perpendikulyarlarning kesishish nuqtalarini koordinatalari AV to‘plamning elementlaridan iborat. Koordinatalari AV ning elementlari (sonlar jufti) ga teng bo‘lgan barcha nuqtalar to‘plami AV to‘plamning geometrik tasviri deyiladi.